Повторить перед темойПовторение к ОГЭ Что дальшеКорень n-й степени

Рациональные уравнения и неравенства: онлайн-тренажёр для 10 класса

Решаем уравнения и неравенства интервалами. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Рациональные уравнения и неравенства»8 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

Основной6 заданий

здесьздесь

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

здесь

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

3 из 14решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Отметьте все числа из списка, при которых верно неравенство x − 4x + 1 ≤ 0.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Расставьте шаги решения неравенства x + 3x − 2 ≥ 2 в правильном порядке.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Многочлен P(x) при делении на x − 1 даёт остаток 3, а при делении на x + 2 — остаток −6. Найдите остаток от деления P(x) на (x − 1)(x + 2) и в ответ запишите его значение при x = 5.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

Коротко о теме

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Уточним это понятие, вспомним приёмы преобразований, выведем формулы куба суммы и суммы кубов и разберём, почему при сокращении дроби нужно следить за тем, где выражение имеет смысл.

Уравнение третьей или четвёртой степени в школе не решают общей формулой. Соберём способы, которые сводят его к уравнениям первой и второй степени: разложение на множители, замену переменной и биквадратное уравнение.

Это параграф углублённого уровня. Научимся делить многочлен на многочлен «уголком» и докажем теорему Безу — она объясняет, почему корень многочлена даёт множитель x − a, и помогает решать уравнения, которые не раскладываются группировкой.

Определение
Область допустимых значений (ОДЗ) выражения — множество значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Выражения, значения которых совпадают при всех допустимых для обоих значениях переменных, называют тождественно равными.
Формулы
Куб суммы и куб разности: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Сумма и разность кубов: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³, (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. Множитель a² − ab + b² называют неполным квадратом разности, a² + ab + b² — неполным квадратом суммы.

Разобранный пример

Условие. Докажите тождество (a + b)³ − (a − b)³ = 2b(3a² + b²).

Ответ. левая часть приведена к правой, равенство верно при всех a и b

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Тождества и преобразования».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
x² − 49x + 7 = x − 7 — тождество только при x ≠ −7. При x = −7 левая часть не имеет смысла, а правая равна −14. Сокращая дробь, записывайте рядом условие «знаменатель не равен нулю» — в уравнениях оно отсеет посторонние корни.
Ошибка 2
Равенство x³ + 11x = 6x² + 6 верно при x = 1, 2 и 3 (проверьте), но при x = 0 получаем 0 ≠ 6. Совпадение в нескольких точках ничего не доказывает: тождество доказывают преобразованием, а опровергают одним контрпримером.
Ошибка 3
(x − 5)² = x² − 10x + 25, а не x² − 25. Проверка числом сразу выдаёт ошибку: при x = 1 слева 16, а x² − 25 = −24.