Повторить перед темойСтепенная функция Что дальшеИррациональные уравнения и неравенства

Корень n-й степени: онлайн-тренажёр для 10 класса

Извлекаем корни n-й степени и упрощаем. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Корень n-й степени»8 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка4 задания

здесьздесьздесь

Основной8 заданий

Сложный4 задания

Ещё 13 заданий ждут в тренажёре

3 из 16решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 16 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 4 задания

Пример условия

Отметьте все выражения, которые имеют смысл.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 8 заданий

Пример условия

Вычислите ⁷√(−8) · ⁷√16.

Все 8 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Найдите значение выражения (∛7 − ∛3)(∛49 + ∛21 + ∛9).

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Введём корень n-й степени — число, n-я степень которого равна данному, — и арифметический корень, у которого всегда одно значение. Научимся вычислять корни и решать уравнения xⁿ = a.

Разберём, чем отличаются корни чётной и нечётной степени: где они определены, как вынести минус и почему ⁴√(a⁴) равен |a|, а не a.

Докажем свойства корня n-й степени: корень из произведения и частного, корень из степени и корень из корня. Это те же свойства, что у квадратного корня, только с показателем n.

Определение
Пусть n — натуральное число, n ≥ 2. Корнем n-й степени из числа a называют число, n-я степень которого равна a.
Определение
Арифметическим корнем n-й степени из числа a ≥ 0 называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Его обозначают ⁿ√a. При нечётном n запись ⁿ√a означает единственный корень n-й степени из a и для отрицательных a: ∛(−27) = −3.

Разобранный пример

Условие. Вычислите ⁴√81, ∛0,125 и ⁵√(−1243).

Ответ. 3; 0,5; −1/3

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Корень n-й степени: что это такое».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Пишут ⁶√729 = ±3. Но знак ⁶√ означает арифметический корень — неотрицательное число: ⁶√729 = 3. Два значения ±3 — это корни уравнения x⁶ = 729, их записывают как x = ±⁶√729.
Ошибка 2
Пишут ⁴√(−256) = −4. Проверка: (−4)⁴ = 256, а не −256. Ни одно число в четвёртой степени не даёт отрицательного числа, поэтому ⁴√(−256) не существует.
Ошибка 3
Это перенос правила с квадратного корня. Для нечётного показателя корень есть у любого числа: ∛(−0,343) = −0,7, потому что (−0,7)³ = −0,343.