Повторить перед темойКорень n-й степени Что дальшеПовторяем алгебру 10 класса

Иррациональные уравнения и неравенства: онлайн-тренажёр для 10 класса

Решаем уравнения с неизвестным под корнем. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 1 задачу бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Иррациональные уравнения и неравенства»8 уроков

1 задача по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 1

Разминка3 задания

здесь

Основной8 заданий

Сложный5 заданий

Ещё 15 заданий ждут в тренажёре

1 из 16решается на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 16 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 1 задача из них решается выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Какое из уравнений не имеет корней?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 8 заданий

Пример условия

Соедините каждое уравнение с числом его корней.

Все 8 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 5 заданий

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Назовём иррациональными уравнения, в которых неизвестное стоит под знаком корня, и научимся решать простейшие из них — вида ⁿ√f(x) = a.

Научимся решать уравнения, где корень равен выражению с неизвестным: возведём обе части в степень и выясним, когда такой переход равносилен, а когда может добавить лишние числа.

Выясним, почему ОДЗ не отсеивает посторонние корни после возведения в квадрат, и заменим проверку подстановкой равносильной системой с условием g(x) ≥ 0.

Определение
Иррациональным называют уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком корня. Например, √(3x − 2) = 4, ∛(x + 1) = x − 5, √x + ⁴√x = 6.
Теорема
Пусть n — натуральное число, n ≥ 2. При нечётном n уравнение ⁿ√f(x) = a равносильно уравнению f(x) = aⁿ при любом a. При чётном n и a ≥ 0 уравнение ⁿ√f(x) = a равносильно уравнению f(x) = aⁿ, а при a < 0 корней не имеет. Равносильными называют уравнения с одними и теми же корнями (знак ⇔), подробно — в §2.

Разобранный пример

Условие. Решите уравнение ∛(5 − 2x) = −3.

Ответ. x = 16

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Что такое иррациональное уравнение».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Решая √(x + 2) = −3, пишут x + 2 = 9 и x = 7. Проверка: √9 = 3 ≠ −3. Квадратный корень не бывает отрицательным, поэтому уравнение корней не имеет — это видно ещё до возведения в квадрат.
Ошибка 2
√(x + 16) = 5 заменяют на √x + 4 = 5 и получают x = 1. Но √(1 + 16) = √17 ≠ 5: корень из суммы не равен сумме корней. Верно: x + 16 = 25, x = 9.
Ошибка 3
2√(x + 3) = x: после возведения в квадрат 4(x + 3) = x², x² − 4x − 12 = 0, x = 6x = −2. При x = −2 получаем 2√1 = 2 ≠ −2 — посторонний корень. При x = 6: 2√9 = 6 — верно. Ответ: x = 6. Без проверки в ответ попало бы лишнее число.