Повторить перед темойСистемы уравнений Что дальшеИтоговое повторение

Системы уравнений: онлайн-тренажёр для 11 класса

Решаем системы уравнений разными способами. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Системы уравнений»10 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной5 заданий

Сложный5 заданий

Со звёздочкой2 задания

Ещё 12 заданий ждут в тренажёре

3 из 15решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
10 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 15 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Решите систему x − y + 2z = −32y − z = 75z = −5. В ответ запишите x + y + z.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Решите систему 2x + y + z = 3x − 3y + 2z = 133x + 2y − z = −4. В ответ запишите y.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 5 заданий

Пример условия

Сколько целых решений у системы неравенств x − 6x + 3 ≤ 0x² ≥ 4?

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Научимся решать системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: уточним, что считать решением, и сведём такую систему подстановкой к системе с двумя неизвестными.

Научимся решать линейные системы методом исключения неизвестных — складывая уравнения, умноженные на числа, — и узнаем, как уже во время решения увидеть, что решений нет или их бесконечно много.

Составим линейные системы по условиям практических задач — об удобрениях, совместной работе и оплате электроэнергии — и научимся проверять, имеет ли найденное решение смысл.

Определение
Линейное уравнение с тремя неизвестными x, y, z — уравнение вида ax + by + cz = d, где a, b, c, d — числа и a, b, c не равны нулю одновременно. Решение такого уравнения — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), при подстановке которой уравнение обращается в верное равенство.
Определение
Решение системы уравнений с неизвестными x, y, z — тройка чисел, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Решить систему — найти все её решения или доказать, что решений нет.

Разобранный пример

Условие. Решите систему x + 2y − z = 33y + 2z = 134z = 8.

Ответ. (−1; 3; 2)

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Линейные системы с тремя неизвестными».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Тройка (1; 4; 1) подходит первым двум уравнениям системы x + y + z = 6x − y + 2z = −12x + y − z = 3: 1 + 4 + 1 = 6 и 1 − 4 + 2 = −1. Но в третьем 2 + 4 − 1 = 5 ≠ 3 — тройка не решение системы. Проверяют каждое уравнение, а не одно-два.
Ошибка 2
При подстановке x = 3 − 2y − z во второе уравнение примера 2 пишут 6 − 4y − z − y + 3z = 13 — число 2 умножили не на все слагаемые. Получается −5y + 2z = 7, и дальше все числа неверны. Скобку раскрывают целиком: 2(3 − 2y − z) = 6 − 4y − 2z.
Ошибка 3
Из уравнения 3x − y + 2z = 4 вычитают x + 2y − z = 1, умноженное на 3, и пишут −7y + 5z = 4 − 1 = 3. Правую часть тоже нужно умножить: 4 − 3 · 1 = 1, верно −7y + 5z = 1. Уравнение умножают целиком — обе части.