Повторить перед темойСистемы уравнений Что дальшеНеравенства с двумя переменными

Системы уравнений: онлайн-тренажёр для 9 класса

Когда одно уравнение — не прямая. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Системы уравнений»8 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной5 заданий

Сложный4 задания

здесь

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждое уравнение с его графиком.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Расставьте шаги решения системы y + 7x = 0x² − y = 18 в правильном порядке.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Сумма квадратов двух положительных чисел равна 52, а разность их квадратов равна 20. Найдите произведение этих чисел. Ответ запишите числом.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 3 —в полном тренажёре

Коротко о теме

В 7 и 8 классе уравнения с двумя переменными были в основном линейными. Теперь появятся уравнения второй степени — с x², y² и xy. Узнаем, как определить степень такого уравнения и как искать его решения.

Графики уравнений второй степени — уже не прямые. Соберём знакомые графики и применим уравнение окружности из курса геометрии.

Решения системы — это общие точки графиков её уравнений. Научимся решать систему по рисунку, оценивать число решений и проверять найденные пары.

Определение
Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных (x; y), при которой уравнение обращается в верное числовое равенство. Если уравнение записано в виде P(x; y) = 0, где P — многочлен стандартного вида, то степень уравнения — это степень многочлена P, то есть наибольшая из степеней его одночленов.
Свойство
График уравнения x² + y² = r², где r > 0, — окружность с центром в начале координат и радиусом r. График уравнения (x − a)² + (y − b)² = r² — окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r.

Разобранный пример

Условие. Какова степень уравнения x² − xy + y² = 7? Какие из пар (2; 3), (1; −3), (−2; 1) — его решения?

Ответ. Уравнение второй степени; решения — (2; 3) и (−2; 1).

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Уравнение с двумя переменными».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Уравнение xy + x = 3 назвали уравнением первой степени: каждая переменная стоит в первой степени. Но степень одночлена xy — сумма показателей: 1 + 1 = 2. Уравнение второй степени, и его график — не прямая.
Ошибка 2
Для уравнения y² + x = 4 записали решение (−1; 3), имея в виду x = 3, y = −1. Но в паре первым всегда стоит x: подстановка (−1; 3) даёт 9 − 1 = 8 ≠ 4. Решение — (3; −1): 1 + 3 = 4.
Ошибка 3
Про окружность x² + y² = 121 сказали: радиус 121. Но справа стоит квадрат радиуса: r² = 121, r = 11. Проверка: точка (11; 0) даёт 121 + 0 = 121, а точка (121; 0) — 14 641.