Повторить перед темойФункции и их свойства Что дальшеНеравенства с одной переменной

Квадратичная функция: онлайн-тренажёр для 9 класса

Парабола: вершина, ось и ветви. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Квадратичная функция»9 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной5 заданий

здесь

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
9 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждую параболу с её вершиной.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все верные утверждения о функции y = −x² + 6x + 16.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Площадь, высота брошенного мяча, путь при разгоне зависят от переменной по формуле с квадратом. Познакомимся с квадратичной функцией, её коэффициентами и графиком — параболой.

Простейшая квадратичная функция — y = ax². Узнаем, как знак и модуль коэффициента a меняют параболу, и опишем свойства этой функции.

Если к функции y = ax² прибавить число n, её график сдвинется вдоль оси ординат на n единиц. Разберёмся, почему так, и найдём вершину, множество значений и нули функции y = ax² + n.

Определение
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — числа и a ≠ 0. Число a называют старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.
Свойство
График квадратичной функции — парабола. Это мы докажем в §6: любую параболу y = ax² + bx + c можно получить сдвигами параболы y = ax².

Разобранный пример

Условие. Мяч бросили вертикально вверх с высоты 2 м со скоростью 15 м/с. Его высота (в метрах) через t секунд в упрощённой модели равна h(t) = 2 + 15t − 5t². Найдите h(1) и h(2). Через сколько секунд мяч снова будет на высоте 2 м?

Ответ. h(1) = h(2) = 12 м; на высоте 2 м мяч снова будет через 3 с.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Квадратичная функция вокруг нас».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
y = (x + 1)² − x² назвали квадратичной. Раскроем скобки: x² + 2x + 1 − x² = 2x + 1. Квадраты сократились, a = 0 — это линейная функция. Сначала приведите формулу к виду ax² + bx + c.
Ошибка 2
Для y = 4 − x² + 3x назвали a = 4, b = −1, c = 3. Коэффициенты определяют по степени x, а не по месту: a = −1 при x², b = 3 при x, c = 4.
Ошибка 3
Решили, что y = 3x² «шире» y = x², ведь 3 > 1. Наоборот: при x = 1 значения 3 и 1, точка параболы y = 3x² выше, ветви круче. Чем больше |a|, тем ближе ветви к оси ординат.