Повторить перед темойПовторяем алгебру 8 класса Что дальшеКвадратичная функция

Функции и их свойства: онлайн-тренажёр для 9 класса

Нули, знаки, рост и убывание. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Функции и их свойства»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной5 заданий

здесьздесь

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Отметьте все функции, которые возрастают на всей числовой прямой.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Соедините каждую функцию с промежутками, на которых она убывает.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 3 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Функция y = kx, k > 0, принимает на отрезке [2; 5] наибольшее значение 6. Найдите k. Ответ запишите числом.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

В 8 классе вы изучили функции y = k/x, x², x³, √x и научились читать по графику области определения и значений. Вспомним главное и уточним, что такое график функции: в этой главе свойства функций мы будем читать именно по нему.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, отделяют участки, где она сохраняет знак. Введём названия «нули функции» и «промежутки знакопостоянства» и научимся находить их по графику и по формуле.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Дадим точные определения, научимся находить промежутки возрастания и убывания по графику и доказывать их по формуле.

Определение
Функция — зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x из множества D(f) соответствует единственное значение y = f(x). D(f) — область определения, E(f) — множество всех значений функции.
Определение
График функции f — множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x ∈ D(f).

Разобранный пример

Условие. Лежат ли на графике функции f(x) = x³ − 2x точки A(−1,5; −0,375) и B(2; 3)?

Ответ. A лежит на графике, B — нет.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Функция: что мы уже знаем».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Окружность с центром в начале координат, проходящую через точку (2; 5), назвали графиком функции. Но на ней лежит и точка (2; −5), симметричная относительно оси абсцисс: прямая x = 2 пересекает окружность дважды, и при одном x получились бы два значения y. График функции каждая вертикальная прямая пересекает не больше одного раза.
Ошибка 2
Проверяя точку (2; 4) на графике y = √x, вычислили √4 = 2 и решили, что точка лежит на графике. Но подставлять нужно абсциссу: √2 ≈ 1,41 ≠ 4. На графике лежит точка (4; 2), а не (2; 4).
Ошибка 3
У функции y = x² − 25x − 5 назвали нули 5 и −5. Но при x = 5 знаменатель обращается в нуль, 5 ∉ D(f). Нуль у функции один: −5. Корни уравнения f(x) = 0 всегда сверяют с D(f).