Повторить перед темойФункции и их свойства Что дальшеСтепенная функция

Функции и их свойства: онлайн-тренажёр для 10 класса

Читаем по графику свойства функции. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Функции и их свойства»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной7 заданий

здесь

Сложный3 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

3 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Отметьте все чётные функции.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 7 заданий

Пример условия

Найдите множество значений функции y = x² − 2x + 10.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 6 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Функция f(x) = 3x − 1x + 2 обратима. Найдите значение обратной к ней функции в точке 1. Ответ запишите десятичной дробью.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

У каждой функции есть множество, на котором она задана, и множество значений, которые она принимает. Научимся находить область определения D(f) по формуле и множество значений E(f) — по формуле и по графику.

Нули функции — значения x, при которых функция равна нулю; между нулями она может сохранять знак. Научимся находить нули и промежутки знакопостоянства по формуле — методом интервалов — и читать их по графику.

У графиков многих функций есть симметрия — относительно оси y или относительно начала координат. Определим чётные и нечётные функции, научимся проверять чётность по формуле и использовать её, чтобы вдвое сократить работу.

Определение
Функция — правило, по которому каждому числу x из множества D сопоставляется ровно одно число y = f(x). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f). Множество всех значений f(x) при x ∈ D(f) называют множеством значений функции и обозначают E(f).
Правило
При нахождении естественной области определения учитывают: знаменатель не равен нулю; выражение под знаком квадратного корня неотрицательно. D(f) — пересечение множеств, задаваемых всеми такими условиями.

Разобранный пример

Условие. Найдите область определения функции f(x) = x + 1x² − 16 + √(5 − x).

Ответ. D(f) = (−∞; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 5]

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Область определения и множество значений».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
У f(x) = √(x + 5)x − 1 замечают только знаменатель и пишут D(f) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Но при x < −5 корень не имеет смысла. Правильно: x ≥ −5x ≠ 1, D(f) = [−5; 1) ∪ (1; +∞).
Ошибка 2
Для y = x² − 4x + 1 пишут E(f) = [1; +∞), глядя на «+1». Но наименьшее значение — в вершине: x = 2, y = 4 − 8 + 1 = −3. Правильно: E(f) = [−3; +∞).
Ошибка 3
Для y = 1x + 2 область определения — x ≠ 0, а множество значений — y ≠ 2. D(f) — ограничения на x (по горизонтали), E(f) — на y (по вертикали).