Повторить перед темойТригонометрические уравнения Что дальшеПроизводная

Тригонометрические функции: онлайн-тренажёр для 11 класса

Строим синусоиду и решаем неравенства. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Тригонометрические функции»8 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной5 заданий

здесь

Сложный5 заданий

Со звёздочкой2 задания

Ещё 12 заданий ждут в тренажёре

3 из 15решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 15 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Найдите наибольшее значение функции y = 6 − 5sin x.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все значения x, при которых функция y = sin x принимает наименьшее значение.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 5 заданий

Пример условия

Расположите числа в порядке возрастания.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Найдите наименьший положительный период функции y = 4cos πx5 + 1.

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Каждому числу x единичная окружность сопоставляет sin x, cos x и tg x — так получаются три функции числового аргумента. Найдём их области определения и множества значений и научимся находить множество значений выражений вида a·sin x + b.

Выясним, какие из тригонометрических функций чётные, а какие нечётные. Введём периодические функции и докажем, что наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса — π.

Построим график функции y = cos x: сначала на отрезке от 0 до π по точкам окружности, затем на всей прямой по чётности и периодичности. По графику прочитаем нули, знаки, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения.

Определение
Функции y = sin x, y = cos x и y = tg x называют тригонометрическими функциями числового аргумента. Они сопоставляют числу x его синус, косинус и тангенс — так, как они определены на единичной окружности.
Теорема
Для функций y = sin x и y = cos x: D(sin) = D(cos) = ℝ, E(sin) = E(cos) = [−1; 1]. Для функции y = tg x: D(tg) — все x, кроме чисел π2 + πn, n ∈ ℤ; E(tg) = ℝ.

Разобранный пример

Условие. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 7sin²x − 3.

Ответ. наименьшее значение −3 (при x = πn), наибольшее 4 (при x = π2 + πn), n ∈ ℤ

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Где определены и какие значения принимают».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
E(4sin 3x) = [−12; 12] — неверно. Множитель 3 стоит внутри синуса: он меняет, при каких x достигаются значения, но sin 3x по-прежнему принимает значения от −1 до 1. Верно: E(4sin 3x) = [−4; 4].
Ошибка 2
«sin x ≤ 1 и cos x ≤ 1, значит, наибольшее значение sin x + cos x равно 2» — неверно. Синус равен 1 только там, где cos x = 0, поэтому сумма 2 не достигается. Верная оценка: (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x ≤ 2, то есть sin x + cos x ≤ √2, и равенство достигается при x = π4.
Ошибка 3
Запись «tg x определён при x ≠ π2 + 2πn» неверна: по ней тангенс был бы определён при x = −π2 и x = 3π2, а там cos x = 0. Косинус равен нулю в двух противоположных точках окружности, поэтому шаг π: x ≠ π2 + πn, n ∈ ℤ.