Тригонометрические уравнения: онлайн-тренажёр для 10 класса
Решаем уравнения и записываем серии корней. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
1 задача по теме — реши здесь без регистрации
Ещё 14 заданий ждут в тренажёре
1 из 15решается на этой странице
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 9 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 15 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 1 задача из них решается выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.
Найдите значение выражения arccos(−1) − arcsin 1 + arctg(−1). Ответ запишите в градусах.
Соедините каждое уравнение с его корнями (везде n ∈ ℤ).
Коротко о теме
Решим уравнение cos x = a: найдём на единичной окружности точки с абсциссой a и запишем все корни одной формулой. Для нетабличных значений a введём новое число — арккосинус.
Введём арксинус и выведем формулу корней уравнения sin x = a: сначала двумя сериями, затем одной записью с множителем (−1)n.
Введём арктангенс и решим уравнение tg x = a. У него корни есть при любом a, и все они составляют одну серию с шагом π.
- Определение
Пусть |a| ≤ 1. Арккосинус числа a — это такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Обозначение: arccos a. Итак, arccos a = α означает: 0 ≤ α ≤ πcos α = a.
- Свойство
При |a| ≤ 1: cos(arccos a) = a и arccos(−a) = π − arccos a.
Разобранный пример
Условие. Решите уравнение cos x = −12.
Ответ. x = ±2π3 + 2πn, n ∈ ℤ
2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Арккосинус и уравнение cos x = a».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1arccos(−√22) = −π4 — неверно: арккосинус лежит в [0; π] и отрицательным не бывает. Кроме того, cos(−π4) = √22, а не −√22. Верно: arccos(−√22) = π − π4 = 3π4.
-
Ошибка 2Ответ «x = arccos 0,8 + 2πn» к уравнению cos x = 0,8 теряет половину корней. Прямая x = 0,8 пересекает окружность в двух точках, и каждая даёт свою серию: x = ±arccos 0,8 + 2πn, n ∈ ℤ.
-
Ошибка 3cos x2 = 0,1: сначала x2 = ±arccos 0,1 + 2πn, затем умножаем на 2 обе части, в том числе 2πn: x = ±2arccos 0,1 + 4πn. Ответ «±2arccos 0,1 + 2πn» содержит лишние числа: например, при n = 1 получается 2arccos 0,1 + 2π, а это не корень.
Алгебра · 10 класс
Что внутри темы
- Урок 1Арккосинус и уравнение cos x = a
- Урок 2Арксинус и уравнение sin x = a
- Урок 3Арктангенс и уравнение tg x = a
- Урок 4Частные случаи: a = 0, 1, −1
- Урок 5Сводим к квадратному уравнению
- Урок 6Разложение на множители
- Урок 7Однородные уравнения
- Урок 8Отбор корней на промежутке ★ углубл.
- Урок 9Проверь себя: решаем тригонометрию
В полном тренажёре — 9 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Понимать смысл арккосинуса, арксинуса и арктангенса
- Решать простейшие уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a
- Сводить уравнение к квадратному или раскладывать на множители
- Записывать ответ сериями корней
Ключевые понятия:арккосинусарксинусарктангенссерия корнейоднородное уравнение
Что требует школьная программа
Записывать угол через обратные тригонометрические функции, решать основные типы тригонометрических уравнений.
Что повторить и что дальше
Формулы тригонометрииАлгебра, 10 класс
Алгебра, 10 класс
Вопросы
Тригонометрические уравнения · 10 классВ каком классе проходят тему «Тригонометрические уравнения»?
В 10 классе, предмет «Алгебра».
Что повторить перед этой темой?
Формулы тригонометрии (10 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 10 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
