Повторить перед темойТригонометрическая окружность Что дальшеТригонометрические уравнения

Формулы тригонометрии: онлайн-тренажёр для 10 класса

Преобразуем выражения по формулам. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Формулы тригонометрии»9 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной6 заданий

здесь

Сложный3 задания

здесь

Со звёздочкой2 задания

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

3 из 14решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
9 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Упростите выражение sin(−α) + 2sin α.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Соедините каждое выражение с равным ему выражением.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 5 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Расположите числа в порядке возрастания.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Вычислите sin 40° + sin 20°cos 10°.

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Докажем, что sin²α + cos²α = 1 при любом α, и научимся находить косинус по синусу и синус по косинусу с правильным знаком.

Выведем из основного тождества формулы, связывающие тангенс и котангенс с косинусом и синусом, и научимся находить все функции угла по одной.

Узнаем, как связаны синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и −α, и научимся «убирать минус» из аргумента.

Теорема
При любом действительном α: sin²α + cos²α = 1. Здесь sin²α — краткая запись (sin α)².
Следствие
cos α = ±√(1 − sin²α), sin α = ±√(1 − cos²α). Знак перед корнем выбирают по четверти, в которой лежит α.

Разобранный пример

Условие. Найдите sin α, если cos α = −2853 и π < α < 3π2.

Ответ. sin α = −4553

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Основное тригонометрическое тождество».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
sin²α — квадрат синуса: (sin α)². А sin α² — синус квадрата угла: sin(α²). Это разные числа: при α = π (sin π)² = 0, а sin(π²) ≈ −0,43.
Ошибка 2
cos α = √(1 − sin²α) — верно только там, где косинус неотрицателен (первая и четвёртая четверти и оси). Для угла второй или третьей четверти перед корнем ставят минус. Корень всегда даёт неотрицательное число, а косинус бывает отрицательным.
Ошибка 3
Тождество связывает квадраты, а не сами значения. При α = π4 сумма sin α + cos α = √22 + √22 = √2 ≈ 1,41, а не 1.