Повторить перед темойПодобие треугольников Что дальшеСинус, косинус, тангенс до 180°

Синус, косинус и тангенс острого угла: онлайн-тренажёр для 8 класса

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Синус, косинус и тангенс острого угла»7 уроков

Разминка3 задания

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Все 12 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

В прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом отношения сторон одинаковы, каким бы ни был размер треугольника. Докажем это и назовём катеты по отношению к углу.

Три отношения сторон прямоугольного треугольника получили имена: синус, косинус и тангенс острого угла. Дадим определения, научимся находить их по сторонам и, наоборот, находить стороны по ним.

Синус и косинус одного угла связаны теоремой Пифагора: сумма их квадратов равна 1. Докажем это тождество, выразим тангенс через синус и косинус и научимся находить два значения по третьему.

Определение
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против острого угла α, называют противолежащим этому углу, а катет, который служит стороной угла α, — прилежащим к нему. Гипотенуза — сторона против прямого угла.
Теорема
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого, то в этих треугольниках равны отношения противолежащего катета к гипотенузе, прилежащего катета к гипотенузе и противолежащего катета к прилежащему.

Разобранный пример

Условие. Два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы α. В первом катет, противолежащий углу α, равен 3 см, прилежащий — 7 см. Во втором прилежащий к α катет равен 17,5 см. Найдите противолежащий катет второго треугольника.

Ответ. 7,5 см.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Отношения сторон зависят от угла».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Катет, противолежащий углу A, прилежит к углу B. Если в треугольнике с углом 35° взять катет, противолежащий углу 55°, отношение получится другим: для каждого угла катеты называют заново.
Ошибка 2
Кажется, что у большого треугольника «наклон» другой. При равных углах все стороны увеличиваются в одно число раз. Поэтому отношение катета 3,5 см к гипотенузе 5 см такое же, как у катета 7 см к гипотенузе 10 см: 0,7 в обоих случаях.
Ошибка 3
В треугольнике с катетами 5 и 11 и углом α против катета 5 пишут sin α = 11√146. Это косинус: катет 11 прилежит к α. Синус — по противолежащему катету: sin α = 5√146.