Повторить перед темойПлощади многоугольников Что дальшеСинус, косинус и тангенс острого угла

Теорема Пифагора: онлайн-тренажёр для 8 класса

Как связаны катеты и гипотенуза. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Теорема Пифагора»6 уроков

Разминка3 задания

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой1 задание

Все 13 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Докажем эту теорему через площади из прошлой главы и найдём по двум катетам гипотенузу.

Теорема Пифагора связывает три стороны, поэтому по любым двум сторонам прямоугольного треугольника находят третью. Научимся находить катет, записывать ответ с корнем и применять теорему в равнобедренном треугольнике, ромбе и трапеции.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Докажем эту обратную теорему, познакомимся с египетским треугольником и пифагоровыми тройками.

Теорема
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b², где a и b — катеты, c — гипотенуза.
Правило
Если a и b — катеты, c — гипотенуза, то c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), b = √(c² − a²).

Разобранный пример

Условие. Катеты прямоугольного треугольника 20 см и 21 см. Найдите гипотенузу.

Ответ. 29 см.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Теорема Пифагора».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Катеты 4 см и 7 см, и гипотенузу считают равной 4 + 7 = 11 см. Так не бывает: по неравенству треугольника гипотенуза меньше суммы катетов. Верно: c² = 16 + 49 = 65, c = √65 ≈ 8,1 см.
Ошибка 2
Для треугольника со сторонами 5, 6 и 8 пишут 8² = 5² + 6². Теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника, а здесь 25 + 36 = 61 ≠ 64. Сначала убедитесь, что угол прямой, и найдите, какая сторона — гипотенуза.
Ошибка 3
Гипотенуза 9 см, катет 4 см, и второй катет находят как √(81 + 16) = √97. Сумма квадратов даёт гипотенузу, а не катет; катет короче гипотенузы: √(81 − 16) = √65 см.