Скалярное произведение векторов: онлайн-тренажёр для 9 класса
Как найти угол между векторами. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 12 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 6 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный.
Коротко о теме
Определим угол между двумя векторами: отложим их от одной точки и измерим получившийся угол. Он всегда от 0° до 180°.
Введём скалярное произведение двух векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. По его знаку видно, острый угол или тупой.
Выведем формулу скалярного произведения через координаты векторов: x1x2 + y1y2. С ней перпендикулярность проверяется без транспортира.
- Определение
Пусть a и b — ненулевые векторы. Отложим от произвольной точки O векторы OA = a и OB = b. Угол AOB называют углом между векторами a и b.
- Правило
Если в треугольнике ABC угол при вершине B равен β, то угол между векторами BA и BC равен β, а угол между векторами AB и BC равен 180° − β.
Разобранный пример
Условие. ABCD — квадрат, O — точка пересечения его диагоналей. Найдите угол между векторами: а) AB и AC; б) AB и CD; в) OA и OB; г) AB и CA.
Ответ. а) 45°; б) 180°; в) 90°; г) 135°.
4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Угол между векторами».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1В ромбе KLMN ∠L = 50°. Пишут: «угол между KL и LM равен 50°». Но эти векторы идут друг за другом, их начала не совпадают. Отложив KL от точки L, получаем смежный угол: 180° − 50° = 130°.
-
Ошибка 2Угол между векторами не бывает 220° или 300°: это угол между лучами с общим началом, он от 0° до 180°. Если при обходе «против часовой стрелки» получилось 250°, берут другую сторону: 360° − 250° = 110°.
-
Ошибка 3Вопрос «каков угол между a и 0?» не имеет ответа: у нулевого вектора нет направления. Определение говорит только о ненулевых векторах.
Геометрия · 9 класс
Что внутри темы
- Урок 1Угол между векторами
- Урок 2Скалярное произведение
- Урок 3Скалярное произведение в координатах
- Урок 4Свойства скалярного произведения
- Урок 5Длины и углы через скалярное произведение
- Урок 6Проверь себя: скалярное произведение
В полном тренажёре — 6 уроков с теорией и чертежами, задания 3 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Находить угол между векторами
- Вычислять скалярное произведение по определению и в координатах
- Проверять перпендикулярность векторов
- Находить длины и углы через скалярный квадрат
Ключевые понятия:угол между векторамискалярное произведениескалярный квадратперпендикулярные векторы
Что требует школьная программа
Находить скалярное произведение векторов и применять его для вычисления длин и углов.
Что повторить и что дальше
Метод координатГеометрия, 9 класс
Синус, косинус, тангенс до 180°Геометрия, 9 класс
Геометрия, 9 класс
Вопросы
Скалярное произведение векторов · 9 классВ каком классе проходят тему «Скалярное произведение векторов»?
В 9 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Метод координат (9 класс), Синус, косинус, тангенс до 180° (9 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 9 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
