Координаты в пространстве: онлайн-тренажёр для 11 класса
Решаем задачи в координатах пространства. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 14 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 7 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.
Коротко о теме
Прямоугольная система координат в пространстве — три попарно перпендикулярные оси с общим началом. Научимся находить координаты точки, а по координатам — её положение, проекции на координатные плоскости и оси и расстояния до координатных плоскостей.
Разложение по трём единичным векторам осей даёт каждому вектору три координаты. Узнаем, как складывать векторы и умножать их на число в координатах и как найти координаты вектора по координатам его начала и конца.
Длина вектора и расстояние между точками в пространстве вычисляются по формуле, похожей на формулу 9 класса, — только под корнем три квадрата. Выведем её из теоремы о диагонали параллелепипеда, а координаты середины отрезка — из векторного равенства прошлой главы.
- Определение
Прямоугольная система координат в пространстве — три попарно перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz с общей точкой O, на каждой из которых выбраны направление и единица длины (одна и та же для всех трёх осей). O — начало координат, Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат.
- Определение
Проведём через точку M три плоскости, перпендикулярные осям Ox, Oy, Oz; они пересекают оси в точках M1, M2, M3. Координата точки M1 на оси Ox — абсцисса x точки M, координата M2 на оси Oy — ордината y, координата M3 на оси Oz — аппликата z. Пишут M(x; y; z).
Разобранный пример
Условие. Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 поставили так, что A — начало координат, а рёбра AB, AD, AA1 лежат на положительных полуосях Ox, Oy, Oz; AB = 5, AD = 3, AA1 = 4. Найдите координаты всех вершин.
Ответ. A(0; 0; 0), B(5; 0; 0), C(5; 3; 0), D(0; 3; 0), A1(0; 0; 4), B1(5; 0; 4), C1(5; 3; 4), D1(0; 3; 4)
3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Система координат в пространстве».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1У точки плоскости Oyz равна нулю абсцисса — координата по оси, которой нет в названии плоскости. Точка (4; 0; −1) лежит в плоскости Oxz, а не в Oyz.
-
Ошибка 2P(1; 5; −2) и R(5; 1; −2) — разные точки: первое число — всегда абсцисса x, второе — ордината y, третье — аппликата z.
-
Ошибка 3Расстояние от точки T(−4; 7; 9) до оси Oz — длина перпендикуляра к оси: √((−4)2 + 72) = √65, а не 9 и не 7. Модуль одной координаты — это расстояние до координатной плоскости.
Геометрия · 11 класс
Что внутри темы
- Урок 1Система координат в пространстве
- Урок 2Координаты вектора
- Урок 3Середина, длина и расстояние
- Урок 4Скалярное произведение и угол
- Урок 5Уравнение плоскости
- Урок 6Углы между прямыми и плоскостями
- Урок 7Проверь себя: координатный метод
В полном тренажёре — 7 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Находить координаты точки и вектора в пространстве
- Находить середину отрезка, длину вектора и расстояние между точками
- Вычислять скалярное произведение и угол между векторами
- Задавать плоскость уравнением
- Находить углы между прямыми и плоскостями координатным методом
Ключевые понятия:прямоугольная система координаткоординаты вектораскалярное произведениеугол между векторамиуравнение плоскостикоординатно-векторный метод
Что требует школьная программа
Находить координаты точек и векторов в пространстве, скалярное произведение и углы, задавать плоскость уравнением.
Что повторить и что дальше
Векторы в пространствеГеометрия, 11 классСкалярное произведение векторовГеометрия, 9 класс
Геометрия, 11 классВопросы
Координаты в пространстве · 11 классВ каком классе проходят тему «Координаты в пространстве»?
В 11 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Векторы в пространстве (11 класс), Скалярное произведение векторов (9 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 11 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
