Повторение: стереометрия и планиметрия: онлайн-тренажёр для 11 класса
Повторяем стереометрию и планиметрию. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 14 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 7 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.
Коротко о теме
Повторим, к какому отрезку сводится любое расстояние и к какому углу — любой угол в пространстве, и решим задачи двумя путями: построением и в координатах.
Повторим формулы площадей поверхностей и объёмов призмы и пирамиды и научимся разбивать многогранник на знакомые тела.
Повторим цилиндр, конус, усечённый конус и шар, формулы их площадей и объёмов и научимся видеть тело по фигуре, которая его заметает.
- Теорема
Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное: если прямая плоскости перпендикулярна наклонной, она перпендикулярна и её проекции.
- Свойство
Если многогранник составлен из нескольких многогранников без общих внутренних точек, его объём равен сумме их объёмов. Площадь поверхности составного тела — сумма площадей граней, оставшихся снаружи: общие грани частей в неё не входят.
Разобранный пример
Условие. Сторона основания правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равна 4, боковое ребро — 4. Найдите расстояние между прямыми AA1 и CD, угол между плоскостью A1CD и плоскостью основания, расстояние от точки A до плоскости A1CD и площадь сечения призмы этой плоскостью.
Ответ. 4√3; 30°; 2√3; 48
5 шагов с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Прямые и плоскости: расстояния и углы».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1Угол между плоскостью A1CD и основанием из первого разбора ищут как ∠A1DA. Но DA не перпендикулярна ребру CD: в правильном шестиугольнике ∠ADC = 60°. ∠A1DA — угол прямой A1D с основанием, его тангенс 4 : 8 = 0,5, а не 1√3. Лучи линейного угла выходят из одной точки ребра и перпендикулярны ему.
-
Ошибка 2AH ⟂ A1C ещё не значит AH ⟂ (A1CD): нужна вторая прямая плоскости, пересекающая A1C. В разборе это CD. В пирамиде SABC с SA ⟂ (ABC), в которой угол ABC не прямой, высота AH треугольника SAB перпендикулярна SB, но не плоскости SBC: BC не перпендикулярна плоскости SAB.
-
Ошибка 3Если направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, а не параллельна ей. Для прямой с вектором p(1; 4; −2) и плоскости 3x + 12y − 6z + 1 = 0 нормаль n = 3p, sin φ = 1, φ = 90°. Параллельна плоскости (или лежит в ней) прямая, у которой p · n = 0.
Геометрия · 11 класс
Что внутри темы
- Урок 1Прямые и плоскости: расстояния и углы
- Урок 2Многогранники: площади и объёмы
- Урок 3Тела вращения: площади и объёмы
- Урок 4Комбинации тел
- Урок 5Опорные факты планиметрии
- Урок 6Практические задачи
- Урок 7Проверь себя: курс геометрии
В полном тренажёре — 7 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Вспоминать параллельность, перпендикулярность, расстояния и углы
- Находить площади поверхностей и объёмы многогранников и тел вращения
- Решать задачи на комбинации тел
- Применять опорные факты планиметрии
Ключевые понятия:сечениерасстояниеобъёмплощадь поверхностикомбинация тел
Что требует школьная программа
Применять факты курса геометрии в многошаговых и практических задачах, выбирая метод решения.
Что повторить перед темой
Объёмы тел вращенияГеометрия, 11 класс
Координаты в пространствеГеометрия, 11 класс
Геометрия, 11 классВопросы
Повторение: стереометрия и планиметрия · 11 классВ каком классе проходят тему «Повторение: стереометрия и планиметрия»?
В 11 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Объёмы тел вращения (11 класс), Координаты в пространстве (11 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 11 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
