Повторить перед темойСфера и шар Что дальшеПовторение: стереометрия и планиметрия

Объёмы тел вращения: онлайн-тренажёр для 11 класса

Вычисляем объёмы цилиндра, конуса и шара. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Объёмы тел вращения»6 уроков

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный3 задания

Со звёздочкой1 задание

Все 13 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Объём цилиндра, как и объём призмы, равен произведению площади основания на высоту: V = πr²h. Докажем это с помощью принципа Кавальери и применим формулу к трубам и бакам.

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ¹/₃πr²h — как у пирамиды. Докажем это сравнением конуса с пирамидой и найдём объём усечённого конуса как разность двух конусов.

Объём шара радиуса R равен ⁴/₃πR³. Выведем эту формулу так, как это сделал Архимед: сравним полушар с цилиндром, из которого вынут конус. А из объёма шара получим обещанную формулу площади сферы.

Теорема
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = πr²h, где r — радиус основания, h — высота.
Теорема
Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ¹/₃πr²h.

Разобранный пример

Условие. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 9, высота цилиндра — 4. Найдите объём цилиндра.

Ответ. 65π

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Объём цилиндра».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Диаметр основания цилиндра 12, высота 5. Объём V = π · 6² · 5 = 180π. Если подставить в πr²h диаметр, выйдет 720π — в 4 раза больше: радиус входит в формулу в квадрате.
Ошибка 2
1 л = 1 дм³ = 1000 см³, а 1 м³ = 1000 л. Бак объёмом 0,35 м³ вмещает 350 л, а не 35 л: при переходе от метров к дециметрам объём умножается на 10³.
Ошибка 3
Бревно длиной 4 м и диаметром 0,3 м лежит на земле. Высота цилиндра здесь — длина бревна, расстояние между плоскими торцами, а не 0,3 м: V = π · 0,15² · 4 = 0,09π ≈ 0,28 м³.