Сфера и шар: онлайн-тренажёр для 11 класса
Изучаем сечения шара и площадь сферы. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 13 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 6 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.
Коротко о теме
Сфера — поверхность, все точки которой удалены от центра на одно расстояние, а шар — тело, ограниченное сферой. Дадим определения, назовём элементы и докажем, что шар — тело вращения полукруга.
Любое сечение шара плоскостью — круг. Докажем это, найдём центр сечения и его радиус r = √(R2 − d2), где d — расстояние от центра шара до плоскости.
Сфера и плоскость либо пересекаются по окружности, либо касаются в одной точке, либо не имеют общих точек — всё решает сравнение d и R. Докажем, что касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, и обратное утверждение.
- Определение
Сфера с центром O и радиусом R — множество всех точек пространства, удалённых от точки O на расстояние R. Шар с центром O и радиусом R — множество всех точек пространства, удалённых от O на расстояние, не большее R.
- Определение
Любой отрезок, соединяющий центр с точкой сферы, тоже называют радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы, — хорда; хорда, проходящая через центр, — диаметр. Концы диаметра — диаметрально противоположные точки. Длина диаметра равна 2R.
Разобранный пример
Условие. Концы отрезка AB лежат на сфере радиуса 9, AB = 14. На каком расстоянии от центра сферы находится середина отрезка AB?
Ответ. 4√2
3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Сфера и шар».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1Точка, удалённая на 4 от центра шара радиуса 5, принадлежит шару, но не сфере: сфера — только точки на расстоянии ровно 5. Поэтому говорят «площадь сферы», но «объём шара»: у поверхности нет объёма.
-
Ошибка 2Если вращать круг радиуса 2 вокруг прямой, которая лежит в его плоскости на расстоянии 5 от центра, получится тело, похожее на бублик (тор), а не шар. Шар даёт только вращение вокруг прямой, содержащей диаметр: центр круга должен остаться на оси.
-
Ошибка 3Шар радиуса 10 пересечён плоскостью на расстоянии 8 от центра. Радиус сечения не 10 − 8 = 2, а √(100 − 64) = 6: вычитать нужно квадраты, потому что R, d и r — стороны прямоугольного треугольника.
Геометрия · 11 класс
Что внутри темы
- Урок 1Сфера и шар
- Урок 2Сечение шара плоскостью
- Урок 3Сфера и плоскость: три случая
- Урок 4Площадь сферы
- Урок 5Вписанные и описанные сферы
- Урок 6Проверь себя: сфера и шар
В полном тренажёре — 6 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Различать сферу и шар, называть их элементы
- Находить радиус сечения шара плоскостью
- Определять взаимное расположение сферы и плоскости
- Вычислять площадь сферы
- Понимать, что такое вписанная и описанная сфера
Ключевые понятия:сферашарсечение шаракасательная плоскостьплощадь сферывписанная сфера
Что требует школьная программа
Распознавать сферу и шар, классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости, вычислять площадь сферы.
Что повторить и что дальше
КонусГеометрия, 11 класс
Геометрия, 11 класс
Объёмы тел вращенияГеометрия, 11 класс
Вопросы
Сфера и шар · 11 классВ каком классе проходят тему «Сфера и шар»?
В 11 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Конус (11 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 11 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
