Повторить перед темойЦилиндр Что дальшеСфера и шар

Конус: онлайн-тренажёр для 11 класса

Изучаем конус, его сечения и площадь. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Конус»5 уроков

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой1 задание

Все 14 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. Дадим определение, назовём элементы конуса и докажем, что все его образующие равны и связаны с радиусом и высотой равенством l² = r² + h².

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину, — равнобедренный треугольник, а плоскостью, параллельной основанию, — круг. Найдём размеры этих сечений: для первого понадобится теорема о трёх перпендикулярах, для второго — подобие.

Боковая поверхность конуса разворачивается в круговой сектор радиуса l. По развёртке выведем формулы S_бок = πrl и S_полн = πr(r + l) и научимся находить угол сектора.

Определение
Конус — тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов.
Определение
Точка S — вершина конуса; круг с центром O и радиусом r = OA — основание; прямая SO — ось, отрезок SO — высота h. Каждое положение гипотенузы SA — образующая конуса; поверхность, составленная из всех образующих, — коническая (боковая) поверхность.

Разобранный пример

Условие. Высота конуса 6, радиус основания 3. Найдите образующую конуса и площадь его основания.

Ответ. l = 3√5, S_осн = 9π

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Как получается конус».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Прямоугольный треугольник с катетами 7 и 10 вращают вокруг катета 7. Катет на оси — высота, h = 7, а второй катет — радиус, r = 10. Если перепутать катеты, получится другой конус: площадь основания 49π вместо 100π.
Ошибка 2
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы конус не получается: вершина прямого угла описывает окружность, и тело состоит из двух конусов с общим основанием. Конус даёт только вращение вокруг катета.
Ошибка 3
Образующая всегда больше высоты и больше радиуса. Если при l = 6 и r = 4 получилась высота √(36 + 16) = √52 > 6, квадраты сложили вместо вычитания. Верно: h = √(36 − 16) = √20 = 2√5.