Повторить перед темойПовторение: сечения, расстояния и углы Что дальшеКонус

Цилиндр: онлайн-тренажёр для 11 класса

Изучаем цилиндр, его сечения и площадь. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Цилиндр»4 урока

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой1 задание

Все 14 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
4 урока с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Цилиндр — первое тело вращения в курсе: его получают, вращая прямоугольник вокруг стороны. Дадим определение, назовём элементы цилиндра и докажем, что его основания — равные круги в параллельных плоскостях, а все образующие равны высоте.

Плоскость, перпендикулярная оси, пересекает цилиндр по кругу, а плоскость, параллельная оси, — по прямоугольнику. Докажем это, найдём размеры сечений и научимся сводить задачи о цилиндре к прямоугольным треугольникам.

Боковую поверхность цилиндра можно разрезать по образующей и развернуть в прямоугольник. По этой развёртке определим площадь боковой поверхности и выведем формулы S_бок = 2πrh и S_полн = 2πr(r + h).

Определение
Тело вращения получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоскости, — оси вращения. Цилиндр — тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон.
Определение
Основания цилиндра — круги, которые заметают стороны OB и O₁A; их общий радиус r — радиус цилиндра. Каждое положение стороны AB — образующая цилиндра; поверхность, составленная из всех образующих, — цилиндрическая (боковая) поверхность. Прямая OO₁ — ось цилиндра, отрезок OO₁ и его длина h — высота цилиндра (ниже докажем, что h — расстояние между плоскостями оснований).

Разобранный пример

Условие. Прямоугольник со сторонами 4 и 7 вращают сначала вокруг стороны 7, затем вокруг стороны 4. Найдите радиус, высоту и площадь основания каждого из полученных цилиндров.

Ответ. первый цилиндр: r = 4, h = 7, S_осн = 16π; второй: r = 7, h = 4, S_осн = 49π

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Как получается цилиндр».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Прямоугольник 5 × 9 вращают вокруг стороны 9. Сторона 5 перпендикулярна оси и становится радиусом основания, поэтому диаметр основания равен 10, а не 5. Цилиндр вдвое шире прямоугольника, из которого он получен: прямоугольник поворачивается на 180° и встаёт по другую сторону от оси.
Ошибка 2
Отрезок с концами на окружностях двух оснований — образующая, только если он параллелен оси. У цилиндра с радиусом 3 и высотой 4 отрезок между диаметрально противоположными точками окружностей оснований равен √(6² + 4²) = √52 = 2√13, а не 4. Длину h имеют только образующие.
Ошибка 3
У цилиндра с радиусом 6 и высотой 10 площадь осевого сечения считают как 6 · 10 = 60. Но сторона осевого сечения на основании — диаметр: S = 12 · 10 = 120.