Повторить перед темойУглы в пространстве Что дальшеЦилиндр

Повторение: сечения, расстояния и углы: онлайн-тренажёр для 10 класса

Повторяем сечения, расстояния и углы. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Повторение: сечения, расстояния и углы»4 урока

Разминка4 задания

Основной6 заданий

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Все 15 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
4 урока с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 15 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Год начался с сечений, построенных по одним аксиомам. Теперь к ним добавились свойства параллельных плоскостей, перпендикулярность и формулы многогранников. Повторим метод следов и научимся не только строить сечение, но и доказывать его форму и находить площадь.

Любое расстояние в пространстве сводится к длине одного отрезка — перпендикуляра. Повторим, как построить этот отрезок для точек, прямых и плоскостей, и найдём расстояния в кубе и пирамиде, в том числе через объём.

Любой угол в пространстве измеряют как угол между двумя пересекающимися прямыми. Повторим, как построить такой угол для скрещивающихся прямых, для прямой и плоскости и для двух плоскостей, и найдём углы в кубе, параллелепипеде и пирамиде.

Свойство
Пусть секущая плоскость пересекает боковые рёбра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ в точках, лежащих на высотах a, b, c, d над основанием. Тогда сечение — параллелограмм и a + c = b + d.
Свойство
Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной из той же точки. Если прямая параллельна плоскости, все её точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Разобранный пример

Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD диагональ основания BD = 12, боковое ребро равно 10, M — середина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью BDM и найдите его площадь.

Ответ. треугольник BDM, S = 30

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Сечения методом следов».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Сечение BPD₁Q на рисунке похоже на квадрат, и площадь считают как BP² = 45. Но у квадрата диагонали равны, а здесь BD₁ = 6√3 ≠ PQ = 6√2. Форму сечения доказывают: равные стороны дают ромб, равенство диагоналей — проверяют отдельно.
Ошибка 2
Сечение прямоугольного параллелепипеда пересекло грань ABCD по отрезку KL, а в грани A₁B₁C₁D₁ сторону проводят через найденную точку N «как получится». Отрезки сечения в параллельных гранях параллельны: через N проводят прямую, параллельную KL, — так находят следующую вершину без лишних следов.
Ошибка 3
В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 14 и высотой 24 расстояние от центра O до боковой грани принимают равным 7 — расстоянию до ребра основания. Но OM — наклонная к плоскости грани. Перпендикуляр короче: апофема равна √(24² + 7²) = 25, и расстояние равно 24 · 725 = 16825.