Углы в пространстве: онлайн-тренажёр для 10 класса
Находим углы между прямыми и плоскостями. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 15 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 8 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 15 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.
Коротко о теме
Ортогональная проекция — параллельная проекция в направлении, перпендикулярном плоскости. Узнаем, во что она переводит прямые, отрезки и многоугольники, и выведем формулу, которая связывает длину отрезка с длиной его проекции.
Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой к наклонной и к её проекции. Докажем её и обратную теорему и научимся с их помощью находить расстояние от точки до прямой.
Наклон прямой к плоскости измеряют углом между прямой и её проекцией. Дадим определение, докажем, что этот угол — наименьший из углов между наклонной и прямыми плоскости, и найдём его в кубе и тетраэдре.
- Определение
Ортогональная проекция точки A на плоскость α — основание перпендикуляра, проведённого из A к α; если A лежит в α, её проекция — сама точка A. Проекция фигуры — множество проекций всех её точек. В этой главе слово «проекция» означает ортогональную проекцию.
- Теорема
Проекция прямой, не перпендикулярной плоскости α, — прямая. Проекция прямой, перпендикулярной α, — точка.
Разобранный пример
Условие. Концы отрезка AB лежат по одну сторону от плоскости α и удалены от неё на 9 и 57, AB = 73. Найдите длину проекции отрезка на плоскость α.
Ответ. 55
3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Проекция фигуры на плоскость».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1Концы отрезка AB = 89 лежат по разные стороны от плоскости и удалены от неё на 9 и 30. Если вычесть расстояния, получится 21 и неверный ответ √(892 − 212). Когда отрезок пересекает плоскость, катет BK равен сумме расстояний: 9 + 30 = 39, и A′B′ = √(7921 − 1521) = √6400 = 80.
-
Ошибка 2Треугольник A1BD в кубе равносторонний: его стороны — диагонали равных граней. Его проекция на плоскость основания — треугольник ABD, и угол BA1D = 60° перешёл в прямой угол BAD. Ортогональная проекция, как и любая параллельная, не сохраняет ни длин, ни углов.
-
Ошибка 3Теорема говорит о прямой, лежащей в плоскости α. Перпендикуляр SH сам перпендикулярен проекции HM, но не наклонной SM: в треугольнике SHM прямой угол один — при вершине H.
Геометрия · 10 класс
Что внутри темы
- Урок 1Проекция фигуры на плоскость
- Урок 2Теорема о трёх перпендикулярах
- Урок 3Угол между прямой и плоскостью
- Урок 4Двугранный угол
- Урок 5Угол между плоскостями
- Урок 6Перпендикулярные плоскости
- Урок 7Углы в кубе и пирамиде
- Урок 8Проверь себя: углы в пространстве
В полном тренажёре — 8 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Строить проекцию фигуры на плоскость
- Доказывать и применять теорему о трёх перпендикулярах
- Находить угол между прямой и плоскостью
- Строить линейный угол двугранного угла и находить его величину
- Применять признак перпендикулярности плоскостей
Ключевые понятия:ортогональная проекциятеорема о трёх перпендикулярахугол между прямой и плоскостьюдвугранный уголлинейный уголперпендикулярные плоскости
Что требует школьная программа
Находить угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и угол между плоскостями, применять теорему о трёх перпендикулярах.
Что повторить и что дальше
Перпендикулярность прямой и плоскостиГеометрия, 10 класс
Геометрия, 10 классВопросы
Углы в пространстве · 10 классВ каком классе проходят тему «Углы в пространстве»?
В 10 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Перпендикулярность прямой и плоскости (10 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 10 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
