Повторить перед темойПараллельность прямых и плоскостей Что дальшеУглы в пространстве

Перпендикулярность прямой и плоскости: онлайн-тренажёр для 10 класса

Доказываем перпендикулярность прямых. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Перпендикулярность прямой и плоскости»8 уроков

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой1 задание

Все 14 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними прямой, — даже когда они не пересекаются. Докажем лемму о параллельных прямых, на которой держится вся глава, и научимся проверять перпендикулярность прямых в кубе и параллелепипеде.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Докажем две теоремы, которые связывают такую перпендикулярность с параллельностью, и научимся находить длины по прямым углам, которые она даёт.

Проверять по определению, что прямая перпендикулярна каждой прямой плоскости, невозможно — таких прямых бесконечно много. Докажем признак, по которому хватает двух пересекающихся прямых, и применим его к кубу, тетраэдру и пирамиде.

Определение
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Обозначение: a ⟂ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут скрещиваться.
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Разобранный пример

Условие. Докажите, что в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярны прямые: а) AC и B₁D₁; б) A₁B и C₁D.

Ответ. обе пары прямых перпендикулярны, хотя в каждой паре прямые скрещиваются

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
На плоскости это так, в пространстве — нет. В кубе AB ⟂ BB₁ и BC ⟂ BB₁, но AB и BC пересекаются. А AB и B₁C₁, тоже перпендикулярные BB₁, скрещиваются.
Ошибка 2
Прямые CD и AA₁ куба общих точек не имеют, и их считают «не перпендикулярными». Но CD ∥ AB и AB ⟂ AA₁, поэтому по лемме CD ⟂ AA₁. Перпендикулярность проверяют углом между прямыми, а не общей точкой.
Ошибка 3
Перенос B₁D₁ в BD верен у любого прямоугольного параллелепипеда, но вывод AC ⟂ BD — только у квадрата. Если основание 5 × 12, диагонали основания не перпендикулярны, и AC с B₁D₁ — тоже.