Повторить перед темойВведение в стереометрию Что дальшеПерпендикулярность прямой и плоскости

Параллельность прямых и плоскостей: онлайн-тренажёр для 10 класса

Изучаем, как располагаются прямые и плоскости. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Параллельность прямых и плоскостей»10 уроков

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой2 задания

Все 15 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
10 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 15 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве появляется третий случай — скрещивающиеся прямые. Разберём все три случая и научимся доказывать, что прямые скрещиваются, не доверяя рисунку.

Параллельные прямые в пространстве ведут себя почти как на плоскости: через точку проходит единственная прямая, параллельная данной, а две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Докажем обе теоремы — вторая станет главным инструментом главы.

Прямая и плоскость могут иметь общую прямую, одну общую точку или не иметь общих точек. Последний случай — параллельность прямой и плоскости. Докажем признак, по которому её устанавливают, и свойство, по которому строят сечения.

Определение
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначение: a ∥ b.
Определение
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Разобранный пример

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение прямых: а) AA₁ и DD₁; б) A₁C₁ и CC₁; в) AD и B₁C.

Ответ. а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Две прямые в пространстве».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Так рассуждали на плоскости. В пространстве прямые без общих точек бывают и параллельными, и скрещивающимися. Чтобы назвать прямые параллельными, нужно ещё показать, что они лежат в одной плоскости.
Ошибка 2
Рисунок — изображение тела на листе, и точка, где пересеклись изображения двух рёбер, может не соответствовать никакой общей точке в пространстве. На чертеже тетраэдра изображения AB и DC часто пересекаются, а сами прямые скрещиваются. Расположение прямых доказывают рассуждением.
Ошибка 3
Рёбра AB и D₁C₁ куба лежат в разных гранях, но параллельны — это мы докажем в следующем параграфе. Скрещивание означает, что через прямые нельзя провести одну плоскость, а не то, что они нарисованы на разных гранях.