Повторить перед темойВекторы Что дальшеКоординаты в пространстве

Векторы в пространстве: онлайн-тренажёр для 11 класса

Действуем с векторами в пространстве. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Векторы в пространстве»5 уроков

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Все 13 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Вектор в пространстве определяется так же, как на плоскости, — как направленный отрезок. Узнаем, какие векторы называют коллинеарными и равными, и докажем, что от любой точки можно отложить вектор, равный заданному, и притом только один.

Векторы в пространстве складывают, вычитают и умножают на число по тем же правилам, что на плоскости. Проверим, что правила остаются верными, и научимся выражать одни векторы параллелепипеда и тетраэдра через другие.

Два вектора всегда можно поместить в одну плоскость, а три — не всегда. Введём компланарные векторы, докажем признак компланарности и с его помощью научимся доказывать, что прямая параллельна плоскости или что точки лежат в одной плоскости.

Определение
Вектор (направленный отрезок) — отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом. Вектор с началом A и концом B обозначают AB, а вектор, названный одной строчной буквой, — a: стрелка над буквами показывает направление от начала к концу. Длина вектора AB — длина отрезка AB; её обозначают |AB|.
Определение
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Разобранный пример

Условие. Назовите все векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, которые равны вектору AB, и все, которые имеют ту же длину, но направлены противоположно.

Ответ. Равны вектору AB: DC, A₁B₁, D₁C₁. Той же длины и противоположно направлены: BA, CD, B₁A₁, C₁D₁.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Векторы в пространстве».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: 2, 10 и 11. Диагонали AC₁ и BD₁ имеют одну длину √(4 + 100 + 121) = 15, но векторы AC₁ и BD₁ не равны: они лежат на пересекающихся прямых и даже не коллинеарны.
Ошибка 2
Векторы AB и CD параллелепипеда лежат на параллельных прямых и имеют равные длины, но направлены противоположно: CD = BA, а не CD = AB. Для равенства векторов нужны и одинаковое направление, и равные длины.
Ошибка 3
Векторы a и b перпендикулярны, |a| = 88, |b| = 105. Тогда |a + b| = √(7744 + 11 025) = 137, а не 193. Длины складываются только у сонаправленных векторов (и когда один из векторов нулевой); в остальных случаях |a + b| < |a| + |b|.