Повторить перед темойУглы в пространстве Что дальшеПлощадь поверхности многогранников

Многогранники: онлайн-тренажёр для 10 класса

Изучаем призмы, пирамиды и правильные тела. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Многогранники»10 уроков

Разминка3 задания

Основной8 заданий

Сложный5 заданий

Со звёздочкой2 задания

Все 18 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
10 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 18 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 8 заданий

Все 8 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 5 заданий

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Куб, тетраэдр и параллелепипед из прошлых глав — частные случаи одного понятия. Дадим ему точное определение, назовём элементы многогранника и найдём закономерность, которая связывает числа его вершин, рёбер и граней.

Призма — многогранник с двумя равными основаниями в параллельных плоскостях. Разберёмся, чем прямая призма отличается от наклонной, какую призму называют правильной, и найдём высоту наклонной призмы через угол, который вы научились измерять в прошлой главе.

Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании. Главная задача параграфа — найти диагональ прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: для этого теорему Пифагора придётся применить дважды, а угол диагонали с гранью найдётся через проекцию.

Определение
Многогранник — тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называют гранями многогранника, их стороны — рёбрами, а вершины граней — вершинами многогранника.
Определение
Диагональ многогранника — отрезок, соединяющий две его вершины, которые не лежат в одной грани.

Разобранный пример

Условие. Поверхность мяча состоит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, в каждой вершине сходятся три грани. Найдите число рёбер и вершин и проверьте соотношение Эйлера.

Ответ. 60 вершин и 90 рёбер

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Многогранник и его элементы».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Отрезок AC в основании призмы называют её диагональю. Но его концы лежат в одной грани — это диагональ основания. Диагональ многогранника соединяет вершины, у которых нет общей грани, и у выпуклого многогранника проходит внутри тела.
Ошибка 2
Складывают стороны всех граней и получают у мяча «180 рёбер». Каждое ребро — общая сторона двух граней, поэтому сумму сторон нужно разделить на 2. Проверка соотношением Эйлера сразу ловит такую ошибку: 60 − 180 + 32 ≠ 2.
Ошибка 3
Прямоугольник 2 × 3 из шести квадратов в куб не сворачивается: при сгибании две грани налягут друг на друга, а одна сторона куба останется открытой. Проверяйте развёртку мысленным складыванием: у каждого ребра должны встретиться ровно две стороны квадратов.