Повторить перед темойДлина окружности и площадь круга Что дальшеОбъёмы многогранников

Площадь поверхности многогранников: онлайн-тренажёр для 10 класса

Находим площадь поверхности по развёртке. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Площадь поверхности многогранников»5 уроков

Разминка3 задания

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Все 12 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Площадь поверхности многогранника — сумма площадей его граней, а развёртка раскладывает все грани на плоскости. Определим боковую и полную поверхность и научимся находить их у прямоугольного параллелепипеда, куба и тел, составленных из нескольких частей.

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники одной высоты. Докажем теорему о боковой поверхности прямой призмы — она равна произведению периметра основания на высоту — и применим её к правильным призмам.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, их высота — апофема. Выведем формулу: площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему, — и вторую формулу, через площадь основания и угол наклона граней.

Определение
Площадь поверхности многогранника — сумма площадей всех его граней. У призмы и пирамиды различают площадь боковой поверхности — сумму площадей боковых граней — и площадь полной поверхности: сумму площадей всех граней, то есть боковых граней вместе с основаниями.
Свойство
Площадь развёртки многогранника равна площади его поверхности.

Разобранный пример

Условие. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 9, 5 и 4.

Ответ. 202

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Развёртка и площадь поверхности».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Площадь поверхности бруска 6 × 3 × 2 считают как 6 · 3 + 3 · 2 + 6 · 2 = 36 и забывают удвоить. Граней шесть, а не три: каждая из найденных площадей встречается дважды, и S = 2 · 36 = 72.
Ошибка 2
Поверхность двух кубиков с ребром 2, склеенных гранью, считают как 2 · 6 · 4 = 48. Но две грани прижаты друг к другу и оказались внутри тела: S = 48 − 2 · 4 = 40. Проверка: получился брусок 4 × 2 × 2, и 2(8 + 4 + 8) = 40.
Ошибка 3
Ящик без крышки размером 6 × 4 × 3 оклеивают снаружи и считают полную поверхность 2(24 + 12 + 18) = 108. Крышки нет, поэтому одну грань 6 × 4 вычитают: 108 − 24 = 84. Прежде чем считать, выясните, какие грани действительно нужны.