Повторить перед темойПлощадь поверхности многогранников Что дальшеОбъёмы тел вращения

Объёмы многогранников: онлайн-тренажёр для 10 класса

Вычисляем объёмы призмы и пирамиды. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Объёмы многогранников»7 уроков

Разминка3 задания

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Все 13 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Объём, как и площадь, показывает, сколько единиц помещается в фигуре, — только единица теперь куб. Сформулируем свойства объёма, введём кубические единицы и научимся переходить от одних единиц к другим.

Докажем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, — не только для целых, но и для дробных измерений. Отсюда получим объём куба и формулу «площадь основания на высоту», на которой держатся все формулы главы.

Докажем, что объём любой призмы — прямой и наклонной — равен произведению площади основания на высоту. Прямую призму сведём к прямоугольному параллелепипеду, а для наклонной воспользуемся принципом Кавальери.

Определение
Объём тела — положительное число, которое ставится в соответствие телу так, что выполнены три свойства: 1) равные тела имеют равные объёмы; 2) если тело составлено из нескольких тел без общих внутренних точек, его объём равен сумме их объёмов; 3) объём куба с ребром, равным единице длины, равен 1.
Определение
Тела с равными объёмами называют равновеликими.

Разобранный пример

Условие. Аквариум вмещает 96 л воды. Выразите его вместимость в кубических сантиметрах и в кубических метрах.

Ответ. 96 000 см³ = 0,096 м³

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Что такое объём».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Переводят 3 м³ в кубические сантиметры, умножая на 100: «300 см³». В 1 м 100 см, но в 1 м³ — 100 · 100 · 100 = 1 000 000 см³, поэтому 3 м³ = 3 000 000 см³.
Ошибка 2
Бруски 6 × 2 × 2 и 4 × 3 × 2 имеют один объём — 24, но они не равны: у них разные рёбра и разные площади поверхности, 56 и 52. Равные тела всегда равновелики, а равновеликие — не обязательно равны.
Ошибка 3
Объём бруска, грани которого с общей вершиной имеют площади 14, 21 и 6, считают как 14 · 21 · 6 = 1764. Это квадрат объёма: (ab)(bc)(ac) = (abc)². Объём равен √1764 = 42 — брусок 2 × 7 × 3.