Повторить перед темойТригонометрические функции Что дальшеИсследование функций

Производная: онлайн-тренажёр для 11 класса

Находим скорость изменения функции. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Производная»10 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной8 заданий

Сложный2 задания

Со звёздочкой3 задания

здесь

Ещё 13 заданий ждут в тренажёре

3 из 16решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
10 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 16 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Найдите f′(1), если f(x) = x⁵ − 7x.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 8 заданий

Пример условия

Отметьте все функции, производная которых в точке x = 0 равна 1.

Все 8 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 3 задания

Пример условия

Найдите f′(0), если f(x) = √(4x + 9). Ответ запишите обыкновенной дробью.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

Коротко о теме

Разберёмся, какие функции называют непрерывными и почему знак непрерывной функции может смениться только в её нуле. На этом свойстве метод интервалов переносится с многочленов на все функции, изученные в 10–11 классах.

Узнаем, как по закону движения найти скорость в отдельный момент времени и как провести касательную к графику функции. Обе задачи решаются одним приёмом — через отношение приращений.

Дадим имя числу, к которому стремится отношение приращений, — это производная. Научимся находить её по определению и разберём её геометрический и физический смысл.

Определение
Функцию f называют непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и при x, приближающихся к x₀, значения f(x) приближаются к f(x₀). Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.
Теорема
Многочлены, дробно-рациональные функции, функции y = ⁿ√x, y = x^r, y = a^x, y = log_a x, y = sin x, y = cos x, y = tg x непрерывны на каждом промежутке, который входит в их область определения. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций непрерывны всюду, где они определены.

Разобранный пример

Условие. Решите неравенство (x − 5)·log₂ x ≥ 0.

Ответ. (0; 1] ∪ [5; +∞)

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Непрерывность и метод интервалов».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
(x + 2)·log₃ x < 0. Нули множителей −2 и 1, и при механическом чередовании знаков выходит ответ (−2; 1). Но log₃x определён только при x > 0, точка −2 вообще не рассматривается. При 0 < x < 1 множитель x + 2 положителен, а log₃x отрицателен — произведение меньше нуля; при x > 1 оно больше нуля. Ответ: (0; 1).
Ошибка 2
(2^x − 8)(x − 3) ≤ 0. Оба множителя обращаются в нуль при x = 3 и меняют знак одновременно. Пробные точки: x = 0 даёт (−7) · (−3) = 21 > 0, x = 4 даёт 8 · 1 = 8 > 0. Произведение положительно и левее 3, и правее, ответ — одна точка x = 3. Чередование знаков дало бы неверный ответ (−∞; 3].
Ошибка 3
Для f(x) = 1x на отрезке [−1; 1]: f(−1) = −1 < 0, f(1) = 1 > 0, но нуля у функции нет. Противоречия нет: при x = 0 функция не определена, она не непрерывна на всём отрезке, и теорема о промежуточном значении к ней не применяется.