Повторить перед темойПроизводная Что дальшеЗадачи на оптимизацию

Исследование функций: онлайн-тренажёр для 11 класса

Исследуем функцию с помощью производной. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Исследование функций»8 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной5 заданий

здесь

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

3 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Найдите точку минимума функции y = x² − 10x + 7.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Найдите точку максимума функции y = x³ − 2x² + x + 3. Ответ запишите обыкновенной дробью.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Найдите наибольшее значение функции y = 2x − tg x на отрезке [0; π3].

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Найдите сумму абсцисс точек перегиба графика функции y = x⁴ + 2x³ − 12x² + 1.

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Научимся по знаку производной находить промежутки, на которых функция возрастает и убывает, и обоснуем это правило теоремой Лагранжа.

Узнаем, какие точки называют точками максимума и минимума, почему производная в них равна нулю или не существует и как по смене знака производной найти экстремумы функции.

Соберём всё, что умеем находить по формуле функции и по её производной, в одну схему исследования и научимся записывать результаты в таблицу.

Определение
Функцию f называют возрастающей на промежутке I, если для любых x₁ < x₂ из I выполняется f(x₁) < f(x₂), и убывающей на I, если f(x₁) > f(x₂). Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называют промежутками монотонности.
Теорема Лагранжа
Если функция f непрерывна на отрезке [a; b] и имеет производную в каждой точке интервала (a; b), то найдётся точка c ∈ (a; b), для которой f(b) − f(a) = f′(c) · (b − a).

Разобранный пример

Условие. Найдите промежутки монотонности функции f(x) = x⁴ + 32x.

Ответ. убывает на (−∞; −2], возрастает на [−2; +∞)

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Знак производной и монотонность».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Производная функции f(x) = x − 4x равна 1 + 4x² и положительна при всех x ≠ 0. Но запись «возрастает на (−∞; 0) ∪ (0; +∞)» неверна: f(−1) = 3 больше, чем f(1) = −3. Функция возрастает на каждом из двух интервалов отдельно, и в ответе пишут «на (−∞; 0) и на (0; +∞)».
Ошибка 2
Для f(x) = x − 4ln x производная x − 4x. Если рассматривать всю прямую, на (−∞; 0) дробь положительна, и появляется лишнее «возрастание на (−∞; 0)». Но логарифм определён только при x > 0. Верно: функция убывает на (0; 4] и возрастает на [4; +∞).
Ошибка 3
Функция f(x) = 16 − x² положительна на (−4; 4), но на [0; 4] она убывает: f′(x) = −2x < 0 при x > 0. Возрастание и убывание определяет знак производной, а не знак самой функции.