Задачи на оптимизацию: онлайн-тренажёр для 11 класса
Ищем наибольшее и наименьшее на практике. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
1 задача по теме — реши здесь без регистрации
Ещё 11 заданий ждут в тренажёре
1 из 12решается на этой странице
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 5 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 1 задача из них решается выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.
Найдите наибольшее значение выражения 12x − x3 при x > 0.
Отметьте все задачи, в которых целевая функция — S(x) = x(20 − x).
Коротко о теме
Научимся переводить практическую задачу «найти лучший вариант» на язык функции: выбирать переменную, записывать величину, которую оптимизируем, и промежуток, на котором её исследуем.
Решим задачи о наибольшей площади и наибольшем объёме: участок у стены, коробку из листа картона и цилиндр, выточенный из конуса.
Применим производную к экономическим задачам: найдём цену, при которой прибыль наибольшая, размер заказа, при котором затраты наименьшие, и выгодный объём выпуска.
- Определение
Величину, которую в задаче нужно сделать наибольшей или наименьшей, записанную как функцию одной переменной, называют целевой функцией.
- Теорема
Пусть функция f непрерывна на промежутке и имеет на нём единственную точку экстремума x0. Если x0 — точка максимума, то f(x0) — наибольшее значение f на этом промежутке; если точка минимума — наименьшее.
Разобранный пример
Условие. Открытый сверху бак в форме цилиндра должен вмещать 27π дм3. При каком радиусе дна на бак уйдёт меньше всего металла? Какой при этом будет высота?
Ответ. радиус 3 дм, высота 3 дм; на бак уйдёт 27π ≈ 85 дм2 металла
4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «От условия задачи к функции».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1Без промежутка формула может «найти» бессмысленный оптимум. Например, у S(x) = 24x − 2x3 есть ещё критическая точка x = −2, а на всей прямой наибольшего значения нет вовсе: при x → −∞ значения неограниченно растут. Промежуток (0; 2√3) отсекает лишнее.
-
Ошибка 2В задаче про бак спрашивают радиус и высоту — ответ 3 дм и 3 дм. Если бы спросили, сколько металла уйдёт, ответом было бы 27π дм2, а не r = 3. Перед ответом перечитайте вопрос.
-
Ошибка 3Пусть в задаче о загоне стена сарая длиной всего 15 м, а сетки по-прежнему 40 м. Найденная сторона вдоль стены 20 м не помещается. Теперь 40 − 2x ≤ 15, то есть x ∈ [12,5; 20), и на этом промежутке S(x) = 40x − 2x2 убывает. Наибольшая площадь — при x = 12,5: 12,5 · 15 = 187,5 м2.
Алгебра · 11 класс
Что внутри темы
- Урок 1От условия задачи к функции
- Урок 2Наибольшая площадь и объём
- Урок 3Выгодная цена и затраты
- Урок 4Скорость процесса в задачах
- Урок 5Проверь себя: найди лучший вариант
В полном тренажёре — 5 уроков с теорией и чертежами, задания 3 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Переводить условие задачи в функцию одной переменной
- Определять промежуток, на котором ищем оптимум
- Доводить решение до ответа с единицами измерения
- Проверять разумность ответа
Ключевые понятия:оптимизацияцелевая функциянаибольшее значениенаименьшее значение
Что требует школьная программа
Применять производную в прикладных задачах на наилучшее решение и скорость процесса.
Что повторить перед темой
Текстовые задачиАлгебра, 9 класс
Исследование функцийАлгебра, 11 класс
Алгебра, 11 классВопросы
Задачи на оптимизацию · 11 классВ каком классе проходят тему «Задачи на оптимизацию»?
В 11 классе, предмет «Алгебра».
Что повторить перед этой темой?
Текстовые задачи (9 класс), Исследование функций (11 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 11 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
