Повторить перед темойПроизводная Что дальшеИнтеграл

Первообразная: онлайн-тренажёр для 11 класса

Восстанавливаем функцию по производной. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Первообразная»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной6 заданий

Сложный4 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

3 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Какая функция — первообразная для f(x) = 7x⁶ на ℝ?

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Отметьте все первообразные для f(x) = 3x² + 7 на ℝ.

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Для каждой функции f возьмите ту первообразную F, график которой проходит через начало координат. Расположите функции f в порядке возрастания значения F(1).

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

До сих пор мы по функции находили её производную. Решим обратную задачу: по производной восстановим саму функцию. Такую функцию называют первообразной.

Докажем, что у функции на промежутке бесконечно много первообразных и все они отличаются только постоянным слагаемым. Научимся выбирать из них одну — ту, график которой проходит через заданную точку.

Прочитаем таблицу производных справа налево и получим таблицу первообразных. Отдельно разберём единственный особый случай степени — функцию 1x.

Определение
Функцию F называют первообразной для функции f на промежутке I, если для всех x из I выполняется равенство F′(x) = f(x).
Правило
Чтобы проверить, что F — первообразная для f на промежутке I, найдите F′(x) и сравните с f(x) при всех x из I.

Разобранный пример

Условие. Докажите, что F(x) = x⁴ − 3x — первообразная для f(x) = 4x³ − 3 на ℝ.

Ответ. F′(x) = 4x³ − 3 = f(x), значит, F — первообразная для f на ℝ

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Функция по её производной».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Для f(x) = x⁴ пишут F(x) = 4x³. Это производная, а не первообразная: (4x³)′ = 12x² ≠ x⁴. Первообразная содержит степень на единицу больше: F(x) = x⁵5, проверка (x⁵5)′ = 5x⁴5 = x⁴.
Ошибка 2
F(x) = −1x — первообразная для f(x) = 1x² на (−∞; 0) и на (0; +∞) по отдельности, но не «на ℝ»: в точке 0 обе функции не определены. Промежуток в определении — это промежуток, а не объединение двух.
Ошибка 3
Найдите первообразную для f(x) = e^x, график которой проходит через (0; 5). Ответ e^x неверен: e⁰ = 1, график проходит через (0; 1). Верно: e^x + C, 1 + C = 5, C = 4, F(x) = e^x + 4.