Повторить перед темойПервообразная Что дальшеИтоговое повторение

Интеграл: онлайн-тренажёр для 11 класса

Вычисляем площади с помощью интеграла. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Интеграл»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

Основной7 заданий

Сложный5 заданий

здесьздесьздесь

Ещё 12 заданий ждут в тренажёре

3 из 15решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 15 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 7 заданий

Пример условия

Отметьте все интегралы, значение которых равно нулю.

Все 7 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 5 заданий

Пример условия

Расположите интегралы в порядке возрастания их значений.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

Коротко о теме

Научимся находить площадь фигуры, ограниченной графиком функции. Окажется, что её даёт первообразная: площадь равна разности двух её значений.

Суммы, которыми мы считали площадь, дадут новое понятие — интеграл. Разберём, что он означает на графике и в физике, в том числе для функций, меняющих знак.

Докажем главную формулу главы: интеграл непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной. С ней интегралы вычисляются в одну строку.

Определение
Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Фигуру, ограниченную графиком y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.
Теорема
Если функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b] и F — её первообразная на этом отрезке, то площадь криволинейной трапеции равна S = F(b) − F(a).

Разобранный пример

Условие. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = x³, осью Ox и прямыми x = 1 и x = 2.

Ответ. S = 3,75

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Площадь под графиком».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Для y = 3x² на [1; 2] пишут S = F(1) − F(2) = 1 − 8 = −7. Площадь не бывает отрицательной — это сигнал ошибки. Верно: из значения в правом конце вычитают значение в левом: S = F(2) − F(1) = 8 − 1 = 7.
Ошибка 2
Для y = x − 1 на [0; 2] формула даёт F(2) − F(0) = (2 − 2) − 0 = 0, где F(x) = x²2 − x. Но фигура состоит из двух треугольников с площадью 12 каждый, всего 1. Теорема требует f(x) ≥ 0 на всём отрезке; здесь на [0; 1) функция отрицательна. Как быть в таком случае — в следующем параграфе.
Ошибка 3
∫1−1 x³ dx = 0: функция нечётная, площади над осью и под осью равны и входят с разными знаками. А площадь фигуры между графиком y = x³ и осью Ox на [−1; 1] равна 14 + 14 = 12 — каждую часть берут со знаком плюс.