Повторить перед темойНеравенства Что дальшеПовторение к ОГЭ

Неравенства с одной переменной: онлайн-тренажёр для 9 класса

Линейные и квадратные, по параболе. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 2 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Неравенства с одной переменной»8 уроков

2 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 2

Разминка3 задания

здесь

Основной5 заданий

Сложный3 задания

здесь

Со звёздочкой2 задания

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

2 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 2 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждое неравенство с множеством его решений.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все неравенства, которые верны при любом x.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Сумма натуральных чисел от 1 до n равна n(n + 1)2. При каком наименьшем n эта сумма больше 105? Ответ запишите числом.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Квадратные неравенства этой главы в конце концов сводятся к простым условиям вида x > a и к их системам. Повторим, как решают линейное неравенство и систему линейных неравенств и как записывают ответ промежутком.

Неравенство, в котором переменная стоит в квадрате, не решается одним переносом слагаемых. Дадим определение квадратного неравенства, научимся приводить его к стандартному виду и посмотрим, как его решения связаны с параболой.

Чтобы решить квадратное неравенство, не нужно строить параболу точно: достаточно знать её корни и направление ветвей. Составим алгоритм и решим неравенства, у которых трёхчлен имеет два корня.

Правило
Неравенство заменяется равносильным (с теми же решениями), если: перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком; умножить или разделить обе части на одно и то же положительное число; умножить или разделить обе части на одно и то же отрицательное число, сменив знак неравенства на противоположный.
Определение
Система неравенств с одной переменной — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — значение переменной, при котором верно каждое неравенство. Чтобы решить систему, решают каждое неравенство и находят общую часть (пересечение) промежутков.

Разобранный пример

Условие. Решите неравенство x + 23 − x − 12 < 1.

Ответ. x > 1, то есть (1; +∞).

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Повторяем линейные неравенства».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Из −3x ≥ 12 получили x ≥ −4. Проверим число 0, оно входит в такой ответ: −3 · 0 = 0, а 0 ≥ 12 неверно. Делили на −3, поэтому знак меняется: x ≤ −4.
Ошибка 2
Ответ системы x ≥ 2x < 5 записали как (2; 5). Но при x = 2 верны оба неравенства: 2 ≥ 2 и 2 < 5. Число 2 входит в ответ: [2; 5). Скобку выбирают по знаку того неравенства, которое задаёт этот конец.
Ошибка 3
Неравенство −x² + 6x + 7 ≥ 0 переписали как x² − 6x − 7 ≥ 0. Проверим x = 0: в исходном 7 ≥ 0 — верно, в новом −7 ≥ 0 — неверно. Неравенства не равносильны. Верно: x² − 6x − 7 ≤ 0.