Повторить перед темойКвадратные уравнения Что дальшеДробно-рациональные уравнения

Квадратный трёхчлен: онлайн-тренажёр для 8 класса

Раскладываем ax² + bx + c на множители. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Квадратный трёхчлен»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной5 заданий

здесьздесь

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждый трёхчлен с его разложением на множители.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Сократите дробь x² − 9x + 8x² − 64 и найдите её значение при x = 2. Ответ запишите десятичной дробью.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 3 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Сократите дробь 2x² − x − 1x² − 1 и найдите её значение при x = 0,8. Ответ запишите обыкновенной дробью.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Левая часть квадратного уравнения — многочлен особого вида, квадратный трёхчлен. Узнаем, что называют корнем и дискриминантом трёхчлена, и научимся выделять из него полный квадрат, чтобы судить о его значениях.

Квадратный трёхчлен с корнями можно записать произведением двух множителей первой степени, а трёхчлен без корней — нельзя. Докажем обе теоремы и выясним, как корни связаны с разложением.

Применим теорему о разложении к трёхчленам с дробными корнями, с отрицательным первым коэффициентом и с двумя переменными. Научимся записывать ответ без дробей в скобках и проверять его.

Определение
Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — числа и a ≠ 0. Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен равен нулю. Дискриминант трёхчлена — число D = b² − 4ac.
Определение
Линейный множитель — многочлен первой степени вида kx + m, где k ≠ 0. Разложить трёхчлен на линейные множители — записать его произведением числа и двух таких многочленов.

Разобранный пример

Условие. Найдите корни квадратного трёхчлена 6x² − x − 12.

Ответ. x₁ = 32, x₂ = −43.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Квадратный трёхчлен и его корни».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Про трёхчлен x² + 2x − 48 сказали: «его корень −48 — значение при x = 0». Корень — то значение x, при котором трёхчлен равен нулю: D = 4 + 192 = 196, корни 6 и −8. Число −48 — значение трёхчлена при x = 0.
Ошибка 2
В трёхчлене 3x² − 6x + 1 вынесли 3 так: 3(x² − 2x + 1). Но 3 · 1 = 3, а не 1. Выносят только из двух первых слагаемых: 3(x² − 2x) + 1 = 3(x − 1)² − 3 + 1 = 3(x − 1)² − 2.
Ошибка 3
У трёхчлена x² − 4x − 45 корни 9 и −5, а записали (x + 9)(x − 5). В скобках стоят x − x₁ и x − x₂: (x − 9)(x + 5). Проверка: раскройте скобки — должен получиться исходный трёхчлен.