Повторить перед темойКвадратный трёхчлен Что дальшеЗадачи на уравнения и системы

Дробно-рациональные уравнения: онлайн-тренажёр для 8 класса

Уравнения с буквой в знаменателе. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Дробно-рациональные уравнения»4 урока

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной5 заданий

Сложный3 задания

Со звёздочкой1 задание

здесь

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
4 урока с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждое уравнение с его корнем.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все уравнения, для которых x = 1 — недопустимое значение.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Пример условия

При каком значении a уравнение x − ax − 3 = 0 не имеет корней?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно

Коротко о теме

Если переменная стоит в знаменателе, уравнение решают с оглядкой на допустимые значения. Узнаем, какие уравнения называют дробно-рациональными, и решим простейшие из них: дробь равна нулю и пропорцию.

Дробное уравнение с несколькими дробями приводят к целому: умножают обе части на общий знаменатель. Научимся выбирать общий знаменатель и проходить весь путь от дробного уравнения до ответа.

Целое уравнение, полученное из дробного, может иметь «лишние» корни — те, при которых знаменатель обращается в нуль. Разберёмся, откуда они берутся, и научимся их отбрасывать.

Определение
Уравнение, обе части которого — рациональные выражения, называют рациональным. Если хотя бы в одной части есть деление на выражение с переменной, уравнение называют дробно-рациональным, или дробным. Остальные рациональные уравнения — целые.
Правило
Дробь PQ равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: уравнение PQ = 0 равносильно системе P = 0Q ≠ 0.

Разобранный пример

Условие. Решите уравнение 3x² + 2x − 5x − 1 = 0.

Ответ. x = −53.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Переменная в знаменателе».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Уравнение x² − 25x − 5 = 0 решили как x² = 25 и записали x = ±5. Но при x = 5 знаменатель равен нулю, дробь не имеет смысла. Корень один: x = −5.
Ошибка 2
Из x + 6x − 2 = 0 получили x = 2. Нулю равна дробь, у которой нулевой числитель: x + 6 = 0, x = −6. А x = 2 — как раз недопустимое значение: при нём дробь не имеет смысла.
Ошибка 3
В уравнении 6x − 1 = x2 умножили на 2x только дроби и получили 12 − 1 = x². Слагаемое без знаменателя тоже умножают: 12 − 2x = x², то есть x² + 2x − 12 = 0.