Повторить перед темойСистемы уравнений Что дальшеПовторение к ОГЭ

Неравенства с двумя переменными: онлайн-тренажёр для 9 класса

Решение — это область на плоскости. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 2 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Неравенства с двумя переменными»5 уроков

2 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 2

Разминка3 задания

здесь

Основной4 задания

здесь

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

2 из 11решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 11 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 2 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Отметьте все точки, которые лежат в полуплоскости x + 2y ≤ 4.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 4 задания

Пример условия

Точка (a; 2) лежит внутри круга x² + y² < 13. Каким может быть a?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 3 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Неравенство с двумя переменными верно для бесконечно многих пар чисел, и на плоскости эти пары заполняют не линию, а целую область. Узнаем, что значит решить такое неравенство и как проверять пары.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости, и решения линейного неравенства заполняют одну из них. Научимся изображать это решение и выбирать нужную полуплоскость пробной точкой.

Граница области может быть параболой или окружностью. Тогда решение неравенства — часть плоскости по одну сторону от кривой: над ней или под ней, внутри круга или вне его.

Определение
Решение неравенства с двумя переменными — пара значений переменных (x; y), при которой неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство с двумя переменными — найти множество всех его решений; на координатной плоскости это множество изображают областью.
Свойство
Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Решения неравенства y > kx + b — точки полуплоскости выше прямой y = kx + b, решения y < kx + b — ниже. Решения x > a — точки правее прямой x = a, решения x < a — левее. При нестрогом знаке прямая тоже входит в решение.

Разобранный пример

Условие. Какие из пар (2; 1), (−1; 5), (3; 3), (0; −4) — решения неравенства 2x − y < 4?

Ответ. Решения — (2; 1), (−1; 5), (3; 3); пара (0; −4) — нет.

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Неравенство с двумя переменными».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Пару (3; 1) назвали решением неравенства x + 3y < 6, потому что она «лежит на прямой». Но 3 + 3 = 6, а 6 < 6 неверно. Точки границы — решения только нестрогого неравенства x + 3y ≤ 6.
Ошибка 2
Для x + y < 6 перечислили пары целых чисел и решили, что других нет. Но (1,5; 2,7) тоже решение: 4,2 < 6. Целые пары — только по смыслу задачи (число тетрадей), а у неравенства самого по себе решения заполняют область.
Ошибка 3
Неравенство x − 3y > 3 переписали как y > x − 33 и заштриховали выше прямой. Но делили на −3: верно y < x − 33, ниже прямой. Проверка точкой (0; 0): 0 > 3 неверно, а (0; 0) лежит выше прямой — значит, решение ниже.