Повторить перед темойСистемы линейных уравнений Что дальшеЗадачи на уравнения и системы

Системы уравнений: онлайн-тренажёр для 8 класса

Сложение, графики и первые нелинейные. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 2 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Системы уравнений»7 уроков

2 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 2

Разминка3 задания

здесь

Основной5 заданий

здесь

Сложный4 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

2 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 2 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждое уравнение с его графиком.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все прямые, параллельные прямой 2x + 3y = 6.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Повторим, что такое решение уравнения с двумя переменными и его график, в том числе при нулевом коэффициенте, и посмотрим на новое — уравнение, записанное произведением.

Часто по смыслу задачи переменные — целые или натуральные числа. Тогда у уравнения с двумя переменными решений может быть несколько, одно или ни одного. Научимся находить их перебором с помощью делимости.

Если в уравнениях системы коэффициенты при одной переменной противоположны, уравнения можно сложить — и эта переменная исчезнет. Научимся добиваться этого умножением уравнений и обоснуем, почему способ даёт верный ответ.

Определение
Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, которая обращает уравнение в верное равенство. График уравнения с двумя переменными — фигура на координатной плоскости, состоящая из всех точек, координаты которых — решения этого уравнения.
Определение
Решить уравнение в целых (натуральных) числах — найти все пары целых (натуральных) чисел, которые ему удовлетворяют, или доказать, что таких пар нет.

Разобранный пример

Условие. Принадлежат ли точки A(3; −1) и B(−2; 4) графику уравнения 3x + 5y = 4?

Ответ. A принадлежит графику, B — нет.

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Повторяем: уравнение и его график».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
График уравнения 0 · x + y = 3 нарисовали точкой 3 на оси y. Но x здесь может быть любым: подходят (−5; 3), (0; 3), (2; 3) и все другие точки с ординатой 3. График — прямая y = 3, параллельная оси x.
Ошибка 2
Решили, что график (x + 3)(y − 4) = 0 — одна точка (−3; 4). Но нулю должен равняться хотя бы один множитель, а не оба сразу. Подходит, например, (−3; 10): там нулю равен первый множитель. График — прямые x = −3 и y = 4.
Ошибка 3
Для уравнения 2x + 5y = 31 в натуральных числах нашли (3; 5) и записали ответ. Но шаг (x + 5; y − 2) даёт ещё (8; 3) и (13; 1); следующая пара (18; −1) уже не натуральная. Перебор доводят до конца.