Повторить перед темойСобытия и их вероятности Что дальшеФормула полной вероятности

Условная вероятность: онлайн-тренажёр для 10 класса

Учитываем условие и проверяем независимость. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Условная вероятность»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. Найдите P(A | B). Ответ запишите десятичной дробью.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Бросают два игральных кубика. Отметьте все пары независимых событий.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Абитуриент подал документы в три вуза. Он пройдёт по конкурсу в первый с вероятностью 0,9, во второй — 0,8, в третий — 0,5, причём решения вузов не зависят одно от другого. Найдите вероятность того, что он пройдёт по конкурсу ровно в два вуза. Ответ запишите десятичной дробью.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Сведение о том, что одно событие уже наступило, может изменить вероятность другого. Определим условную вероятность P(A | B) и научимся находить её по таблице, по равновозможным исходам и по формуле.

Из определения условной вероятности получается правило умножения: вероятность того, что наступят оба события, равна вероятности первого, умноженной на условную вероятность второго. Применим его к цепочкам из двух, трёх и более событий.

Опыт, который идёт по шагам, изображают деревом: на рёбрах — условные вероятности шагов, вероятность пути — произведение, вероятность события — сумма вероятностей его путей. Научимся строить такое дерево и считать по нему.

Определение
Пусть P(B) > 0. Условной вероятностью события A при условии B называют число P(A | B) = P(A ∩ B)P(B). Запись P(A | B) читают «вероятность A при условии B».
Свойство
Если исходы опыта равновозможны, то P(A | B) = N(A ∩ B)N(B): число исходов, благоприятствующих и A, и B, делим на число исходов, благоприятствующих B.

Разобранный пример

Условие. Бросают два игральных кубика. Известно, что наибольшее из выпавших чисел равно 5. Найдите вероятность того, что сумма очков не меньше 8.

Ответ. 59

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Когда новость меняет вероятность».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
P(A | B) и P(B | A) — разные числа: числитель у них общий, P(A ∩ B), а знаменатели разные. Если P(A) = 0,8, P(B) = 0,2 и P(A ∩ B) = 0,1, то P(A | B) = 0,10,2 = 0,5, а P(B | A) = 0,10,8 = 0,125. Делят на вероятность того события, которое стоит после черты.
Ошибка 2
В задаче про кубики число 536 — это P(A ∩ B), а не условная вероятность. Условие убирает исходы, где B не наступило: в знаменателе 9, а не 36.
Ошибка 3
P(Ā | B) = 1 − P(A | B), но P(A | B̄) так не находится. В магазине P(отказ | при получении) = 0,12, значит, P(выкуп | при получении) = 0,88, а P(отказ | на сайте) = 0,02 — число из другой строки таблицы.