Повторить перед темойУсловная вероятность Что дальшеПовторяем курс 10 класса

Формула полной вероятности: онлайн-тренажёр для 10 класса

Считаем вероятность, разбирая все случаи. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Формула полной вероятности»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Задача 2 из 3, уровень Разминка

Опыт — случайно выбранный день недели (праздники не учитываем). Какой набор событий образует полную группу?

«Будний день», «выходной» «Понедельник», «пятница» «Рабочий день», «пятница», «воскресенье» «С понедельника по среду», «со среды по воскресенье»

Подсказка и разбор этой задачи — в полном тренажёре.

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной5 заданий

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

3 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Гипотезы H₁ и H₂ образуют полную группу, P(H₁) = 0,35. Известно, что P(A | H₁) = 0,2 и P(A | H₂) = 0,6. Найдите P(A). Ответ запишите десятичной дробью.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Вынимают шар, возвращают его и добавляют в урну ещё один шар того же цвета. Затем вынимают второй шар. Найдите вероятность того, что второй шар белый.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Письма приходят от знакомых (H₁) и от незнакомых адресатов (H₂); A — «письмо оказалось спамом». Сопоставьте каждый вопрос с формулой, по которой находят ответ.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Заболеванием болеют 10% обследуемых. Тест у больного положителен с вероятностью 0,9, у здорового — с вероятностью 0,2. Человек сдал тест дважды, оба раза результат положительный; при одном и том же состоянии здоровья результаты двух тестов независимы. Найдите вероятность того, что человек болен. Ответ запишите несократимой обыкновенной дробью.

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Если опыт трудно описать целиком, его разбивают на несовместные случаи и находят вероятность события в каждом из них. Введём полную группу событий и гипотезы и научимся складывать вероятности по случаям.

Соберём рассуждения прошлого параграфа в одну формулу: вероятность события равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события при этих гипотезах. Применим её к контролю качества, медицинским тестам и экзаменам.

Формула полной вероятности работает при любом числе гипотез. Разберём задачи с тремя источниками, опыты в два этапа, где первый этап меняет условия второго, и обратные задачи, где по общей вероятности находят долю источника.

Определение
События H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в каждом проведении опыта наступает одно из них. События полной группы, на которые разбивают опыт, называют гипотезами.
Теорема
Если H₁, …, H_n — полная группа, то для любого события A: P(A) = P(A ∩ H₁) + P(A ∩ H₂) + … + P(A ∩ H_n).

Разобранный пример

Условие. Бросают монету. Если выпал орёл, бросают один игральный кубик, если решка — два кубика. Найдите вероятность того, что выпадет ровно 6 очков (на одном кубике — шестёрка, на двух — сумма 6).

Ответ. 1172

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Разбиваем опыт на случаи».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Если случай выбирают с заданной вероятностью, предметы разных случаев объединять нельзя. В одной урне 1 чёрный шар из 2, в другой — 1 чёрный из 8, урну выбирают монетой: P(чёрный) = 12 · 12 + 12 · 18 = 516, а не 210.
Ошибка 2
Гипотезы должны быть попарно несовместны и вместе охватывать все исходы. Для детали «сделана в первую смену» и «сделана на новом станке» не годятся: деталь может быть и той, и другой. Проверка: P(H₁) + … + P(H_n) = 1.
Ошибка 3
Обычное среднее условных вероятностей годится, только если гипотезы равновероятны. Если 90% посетителей сайта заходят с телефона и покупают с вероятностью 0,01, а 10% — с компьютера и покупают с вероятностью 0,05, то P(покупка) = 0,9 · 0,01 + 0,1 · 0,05 = 0,014, а не 0,01 + 0,052 = 0,03.