Повторить перед темойИспытания Бернулли Что дальшеСлучайные величины и распределения

Серии испытаний: онлайн-тренажёр для 10 класса

Считаем вероятности в сериях испытаний. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Серии испытаний»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой1 задание

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

3 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Кофемашина в офисе готовит чашку кофе без сбоя с вероятностью 0,98 независимо от предыдущих чашек. Найдите вероятность того, что две чашки подряд будут приготовлены без сбоя. Ответ запишите десятичной дробью.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Игральный кубик бросают 3 раза. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 2 раза. Ответ запишите несократимой обыкновенной дробью.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Олимпиадник решает каждую задачу незнакомого ему вида с вероятностью 0,3 независимо от других задач. Какое наименьшее число задач ему нужно взять, чтобы хотя бы одну решить с вероятностью больше 0,9? Известно: 0,7⁶ ≈ 0,118, 0,7⁷ ≈ 0,082. Ответ запишите числом.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Многие опыты сводятся к повторению одного и того же действия с двумя исходами: взошло семя или нет, дошло письмо или нет. Повторим из 9 класса, что такое испытание и серия независимых испытаний, и научимся находить вероятность «хотя бы одного успеха».

Часто испытания повторяют, пока не случится первый успех: звонят, пока не дозвонятся, бросают кубик, пока не выпадет шестёрка. Найдём вероятность того, что первый успех случится на k-м шаге или не позже k-го.

Сколько успехов будет в серии из n испытаний? Выведем формулу Бернулли для вероятности ровно k успехов и научимся находить вероятности событий «не меньше k» и «не больше k».

Определение
Испытание — случайный опыт с двумя исходами: один называют успехом, другой — неудачей. Вероятность успеха обозначают p, вероятность неудачи q = 1 − p.
Определение
Серия независимых испытаний — несколько испытаний, в которых исход любых из них не меняет вероятностей исходов остальных. Если в каждом испытании серии вероятность успеха одна и та же, серию называют испытаниями Бернулли.

Разобранный пример

Условие. Курьерская служба привозит заказ вовремя с вероятностью 0,9; опоздания разных курьеров независимы. Офис ждёт 4 заказа, их везут разные курьеры. Найдите вероятность того, что: а) все четыре заказа приедут вовремя; б) хотя бы один опоздает; в) опоздает только четвёртый; г) опоздает ровно один.

Ответ. а) 0,6561; б) 0,3439; в) 0,0729; г) 0,2916

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Испытания и серии: повторяем».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Наклейка лежит в пачке чипсов с вероятностью 0,12. Купили 10 пачек: «10 · 0,12 = 1,2» — вероятность больше 1, значит, рассуждение неверно. Складывать можно только несовместные события. Верно: 1 − 0,88¹⁰ ≈ 1 − 0,279 = 0,721.
Ошибка 2
P(УН) = pq — вероятность того, что успех был в первом испытании, а не во втором. «Ровно один успех в двух испытаниях» — это УН или НУ: 2pq. При p = 0,6 получается 0,48, а не 0,24.
Ошибка 3
Формулы главы верны только для независимых испытаний. Удары одного футболиста или броски одного баскетболиста считают независимыми условно: усталость и волнение меняют вероятность. Поэтому в задачах это допущение пишут явно, а в жизни проверяют по статистике.