Повторить перед темойКомбинаторика Что дальшеСерии испытаний

Комбинаторика и бином Ньютона: онлайн-тренажёр для 10 класса

Считаем сочетания и раскрываем бином. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Комбинаторика и бином Ньютона»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной6 заданий

здесьздесь

Сложный3 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Найдите C₁₃².

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Соедините каждое выражение с его значением.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Из 10 карточек с номерами от 1 до 10 наугад берут три. Найдите вероятность того, что наименьший из выбранных номеров равен 4. Ответ запишите несократимой обыкновенной дробью.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Когда исходов тысячи, выписывать их нельзя — их число находят расчётом. Повторим комбинаторное правило умножения и перестановки из 9 класса: на них держится вся глава.

Часто важно не в каком порядке выбрали элементы, а какие именно. Выведем формулу числа сочетаний из правила умножения и научимся считать по ней без громоздких факториалов.

Числа сочетаний можно не вычислять по формуле, а складывать: каждое получается из двух соседних. Докажем формулу Паскаля, построим треугольник Паскаля и найдём сумму чисел в его строке.

Правило
Если первый элемент можно выбрать m способами и при любом таком выборе второй элемент можно выбрать n способами, то пару (первый; второй) можно выбрать m · n способами. Для k шагов число вариантов равно произведению n₁ · n₂ · … · n_k, где n_i — число способов на i-м шаге при уже сделанных выборах.
Определение
Перестановка из n элементов — упорядоченный ряд, в котором каждый из n элементов стоит ровно один раз. Произведение 1 · 2 · 3 · … · n обозначают n! и читают «эн факториал». По определению 0! = 1.

Разобранный пример

Условие. Номер легкового автомобиля в России — буква, три цифры и ещё две буквы, например В725КМ. Используются 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х; цифры от 001 до 999 (комбинация 000 не выдаётся). Сколько разных номеров можно выдать в одном регионе?

Ответ. 1 726 272 номера

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Правило умножения: повторяем».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
В столовой 4 супа и 5 салатов. Выбрать одно блюдо — суп или салат — можно 4 + 5 = 9 способами. Выбрать обед из супа и салата — 4 · 5 = 20 способами. Умножают, когда выбирают и то, и другое; складывают, когда выбирают одно из двух.
Ошибка 2
Первое, второе и третье места среди 8 участников распределяются 8 · 7 · 6 = 336 способами, а не 8³ = 512: один человек не может занять два места. Перед умножением спросите себя, сужает ли сделанный выбор следующий.
Ошибка 3
По определению 0! = 1, а не 0. Иначе равенство 1! = 1 · 0! было бы неверно, и формулы следующего параграфа не работали бы для крайних случаев.