Повторить перед темойДеревья и правило умножения Что дальшеИспытания Бернулли

Комбинаторика: онлайн-тренажёр для 9 класса

Перестановки, сочетания и Паскаль. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Комбинаторика»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры нечётные? Ответ запишите числом.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Семь разных фигурок ставят на полку в ряд. Самая большая должна стоять с краю — слева или справа. Сколько существует таких расстановок? Ответ запишите числом.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Из 8 человек нужно составить команду из 4 и назначить в ней капитана. Сколькими способами это можно сделать? Ответ запишите числом.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Правило умножения из 8 класса считает упорядоченные пары и тройки: варианты, в которых важно, что идёт первым. Научимся отличать такие наборы и считать их без перебора.

Сколькими способами можно расставить в ряд несколько разных предметов? Ответ — произведение всех натуральных чисел до их количества. Введём для него короткую запись — факториал.

Часто порядок выбора неважен: в стаканчике мороженого шарики не нумеруют. Такой выбор называют сочетанием. Выведем формулу для числа сочетаний из числа упорядоченных наборов.

Определение
Упорядоченная пара (a; b) — два элемента, записанные в определённом порядке: a — первый, b — второй. При a ≠ b пары (a; b) и (b; a) разные. Так же упорядоченная тройка (a; b; c) — три элемента на первом, втором и третьем местах.
Правило
Правило умножения. Если первый элемент пары можно выбрать m способами и при каждом таком выборе второй элемент — n способами, то упорядоченных пар m · n. Для троек: m · n · k, где k — число способов выбрать третий элемент при уже выбранных первых двух.

Разобранный пример

Условие. Из цифр 1, 4, 6, 8 составляют двузначные числа. Сколько чисел можно составить, если цифры могут повторяться? А если цифры должны быть разными?

Ответ. 16 чисел с повторениями, 12 — с разными цифрами.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Пары и тройки: правило умножения».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Для турнира семи команд в два круга ответили 21 матч: «каждая команда играет с шестью другими, 7 · 6 : 2». Деление на 2 убирает порядок, а здесь он важен: матчи на своём поле и на поле соперника — разные. Матчей 7 · 6 = 42.
Ошибка 2
Для флага с разными соседними полосами посчитали 5 · 4 · 3 = 60, запретив нижней полосе цвет верхней. Но условие запрещает совпадать только соседним полосам: бело-сине-белый флаг подходит. Верно 5 · 4 · 4 = 80.
Ошибка 3
4! записали как 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Факториал — произведение: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Сумма считает другое: сколько всего элементов в группах из 1, 2, 3 и 4 предметов.