Повторить перед темойКомбинаторика Что дальшеСлучайная величина

Испытания Бернулли: онлайн-тренажёр для 9 класса

Успех, неудача и серия опытов. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Испытания Бернулли»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной5 заданий

здесьздесь

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Бросают игральный кубик. Успехом считают число очков, кратное 3. Найдите вероятность неудачи. Ответ запишите несократимой дробью вида a/b.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все серии, которые можно считать сериями испытаний Бернулли.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 3 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Рыбак забрасывает удочку; при каждом забросе рыба клюёт с вероятностью 0,1, независимо от других забросов. Какое наименьшее число забросов нужно сделать, чтобы вероятность хотя бы одной поклёвки была не меньше 0,5? Ответ запишите числом.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Во многих задачах важен один вопрос: наступило событие или нет. Опыт с таким вопросом называют испытанием, а два его исхода — успехом и неудачей.

Испытание повторяют, пока не наступит первый успех. Найдём вероятность того, что успех наступит ровно на k-м шаге, и вероятность того, что придётся сделать больше n попыток.

Серия испытаний Бернулли — несколько одинаковых независимых испытаний подряд. Исход серии — цепочка успехов и неудач. Найдём вероятность любой такой цепочки.

Определение
Испытание — случайный опыт, в котором выделено одно событие; его наступление называют успехом, а наступление противоположного события — неудачей. Вероятность успеха обозначают p, вероятность неудачи — q: q = 1 − p.
Теорема
Пусть независимые испытания с вероятностью успеха p (0 < p < 1) повторяют до первого успеха, q = 1 − p. Тогда вероятность того, что первый успех наступит в испытании с номером k, равна q^k−1 · p. Вероятность того, что в первых n испытаниях успеха не будет, равна qⁿ, а того, что он наступит не позже n-го испытания, — 1 − qⁿ.

Разобранный пример

Условие. Генератор выдаёт случайное натуральное число от 1 до 50, все числа равновозможны. Успехом считают простое число. Найдите вероятности успеха и неудачи.

Ответ. p = 0,3, q = 0,7.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Испытание: успех и неудача».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
«У броска кубика при успехе «шестёрка» два исхода: шестёрка или нет. Значит, p = 12». Неверно: исходы «успех» и «неудача» не равновозможны. Неудаче благоприятствуют пять граней из шести: q = 56, p = 16.
Ошибка 2
Контролёр считает успехом найденный брак, а вероятность брака 0,04. Записали p = 0,96, «ведь годная деталь — это хорошо». Успех — то событие, о котором договорились: здесь p = 0,04, q = 0,96. Перепутав p и q, вы получите вероятности совсем других событий.
Ошибка 3
«Вероятность дозвониться с третьего раза — 0,3: каждый звонок проходит с вероятностью 0,3». Это вероятность того, что третий звонок удачен. Событие «впервые на третьем» требует ещё двух неудач до него: 0,7² · 0,3 = 0,147.