Прогрессии: онлайн-тренажёр для 9 класса
Арифметическая и геометрическая. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 14 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 9 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 14 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный.
Соедините каждую последовательность с её описанием.
Арифметическая прогрессия: a1 = 2, d = 3. Геометрическая: b1 = 1, q = 3. Расположите числа в порядке возрастания.
Коротко о теме
Познакомимся с последовательностью, в которой каждый следующий член больше или меньше предыдущего на одно и то же число, и докажем свойство её среднего члена.
Выведем формулу, по которой любой член арифметической прогрессии находят по первому члену и разности, и увидим, что точки (n; an) лежат на одной прямой.
Выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: запишем сумму дважды, в прямом и обратном порядке, и сложим.
- Определение
Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d: an+1 = an + d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.
- Свойство
Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен среднему арифметическому двух соседних членов: an = an−1 + an+12.
Разобранный пример
Условие. Докажите, что последовательность an = 7 − 3n — арифметическая прогрессия. Найдите a1 и d.
Ответ. Арифметическая прогрессия с a1 = 4, d = −3.
3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Арифметическая прогрессия».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1Для прогрессии 50; 44; 38; … пишут d = 50 − 44 = 6. Но разность — это следующий член минус предыдущий: d = 44 − 50 = −6. Знак важен: с d = 6 после 50 шло бы 56, а не 44.
-
Ошибка 2У ряда 3; 7; 11; 16 разность первых двух членов 4, и его называют арифметической прогрессией. Но 16 − 11 = 5 ≠ 4. Прогрессия — только если разности всех соседних членов одинаковы.
-
Ошибка 3При a1 = 4 и d = 6 пишут a10 = 4 + 10 · 6 = 64. Но от первого члена до десятого девять переходов: a10 = 4 + 9 · 6 = 58. Проверка: при n = 1 запись 4 + n · 6 даёт 10, а первый член равен 4.
Алгебра · 9 класс
Что внутри темы
- Урок 1Арифметическая прогрессия
- Урок 2n-й член арифметической прогрессии
- Урок 3Сумма арифметической прогрессии
- Урок 4Геометрическая прогрессия
- Урок 5n-й член геометрической прогрессии
- Урок 6Сумма геометрической прогрессии
- Урок 7Линейный и экспоненциальный рост
- Урок 8Сложные проценты
- Урок 9Проверь себя: прогрессии в задачах
В полном тренажёре — 9 уроков с теорией и чертежами, задания 3 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Находить n-й член арифметической и геометрической прогрессии
- Находить сумму первых n членов
- Отличать линейный рост от экспоненциального
- Решать задачи на сложные проценты
Ключевые понятия:арифметическая прогрессияразность прогрессиигеометрическая прогрессиязнаменатель прогрессиисложные проценты
Что требует школьная программа
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии, вычислять n-й член и сумму первых n членов, решать задачи на сложные проценты.
Что повторить и что дальше
Числовые последовательностиАлгебра, 9 класс
Алгебра, 9 класс
Вопросы
Прогрессии · 9 классВ каком классе проходят тему «Прогрессии»?
В 9 классе, предмет «Алгебра».
Что повторить перед этой темой?
Числовые последовательности (9 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 9 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
