Повторить перед темойПрогрессии Что дальшеПовторяем алгебру 10 класса

Последовательности и прогрессии: онлайн-тренажёр для 10 класса

Считаем сложные проценты и бесконечные суммы. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Последовательности и прогрессии»7 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

Основной6 заданий

здесьздесь

Сложный3 задания

здесь

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Отметьте все бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Сумма первых n членов последовательности при любом n равна S_n = 2n² + 5n. Что это за последовательность?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

Коротко о теме

Вспомним, что такое последовательность, и сравним способы её задать: формулой n-го члена, рекуррентно, описанием и графиком. Научимся переходить от рекуррентной формулы к формуле n-го члена и проверять, входит ли число в последовательность.

Определим, когда последовательность возрастает или убывает, и разберём три способа это проверить: по разности соседних членов, по их отношению и по свойствам функции. Научимся находить наибольший и наименьший член.

Повторим формулы арифметической и геометрической прогрессий из 9 класса — вместе с выводом формул суммы — и выясним, какие прогрессии монотонны.

Определение
Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел ℕ (или на его начальном отрезке 1, 2, …, N): каждому номеру n ставится в соответствие число a_n — n-й член последовательности. Записывают a₁, a₂, a₃, … или коротко (a_n). Если номера идут до N, последовательность конечная, если без конца — бесконечная.
Определение
Последовательность (a_n) возрастает, если каждый следующий член больше предыдущего: a_n+1 > a_n при всех n. Последовательность убывает, если a_n+1 < a_n при всех n. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными.

Разобранный пример

Условие. Входит ли число 143 в последовательность a_n = n² + 2n? Если да, то каким членом по счёту?

Ответ. да, 143 = a₁₁

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Способы задать последовательность».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Для a_n = 3n² − 1 пишут a_n+1 = 3n² − 1 + 1 = 3n². Но a_n+1 — член с номером n + 1: номер n + 1 подставляют вместо n. Верно: a_n+1 = 3(n + 1)² − 1 = 3n² + 6n + 2.
Ошибка 2
Члены 2, 4, 8 продолжают числами 16, 32, … по формуле a_n = 2ⁿ. Но у последовательности a_n = n² − n + 2 первые члены тоже 2, 4, 8, а четвёртый — 14. Несколько первых членов последовательность не задают: нужна формула или правило.
Ошибка 3
Входит ли 30 в последовательность a_n = n² − 3n? Из n² − 3n − 30 = 0 получают n ≈ 7,2 и пишут «член с номером 7,2». Но номер только натуральный: a₇ = 28, a₈ = 40, и числа 30 в последовательности нет.