Повторить перед темойОкружность и круг Что дальшеЧетырёхугольники и окружности

Углы в окружности: онлайн-тренажёр для 8 класса

Центральный, вписанный и другие углы. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Углы в окружности»7 уроков

Разминка3 задания

Основной5 заданий

Сложный4 задания

Со звёздочкой1 задание

Все 13 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 1 задание

Это задание — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Дуги окружности измеряют в градусах — так же, как углы. Введём центральный угол, градусную меру дуги и докажем, что равные хорды стягивают равные дуги.

Угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность, называют вписанным. Докажем главную теорему главы: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Из теоремы о вписанном угле следуют два факта, которыми пользуются чаще самой теоремы: вписанные углы на одну дугу равны, а угол на диаметр прямой. Применим их к построению касательной и выясним, где лежит центр описанной окружности.

Определение
Угол с вершиной в центре окружности называют центральным углом. Говорят, что центральный угол AOB опирается на дугу AB, которая лежит внутри этого угла.
Определение
Градусная мера дуги, меньшей полуокружности, равна величине центрального угла, который на неё опирается. Градусная мера полуокружности равна 180°. Градусная мера дуги, большей полуокружности, равна 360° минус градусная мера второй дуги с теми же концами.

Разобранный пример

Условие. Точки A, B и C делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите эти дуги и центральные углы AOB, BOC и COA, если дуги идут в порядке AB, BC, CA.

Ответ. Дуги 60°, 90°, 210°; ∠AOB = 60°, ∠BOC = 90°, ∠COA = 150°.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Дуга и центральный угол».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Если дуга CA равна 210°, пишут ∠COA = 210°. Угол треугольника или угол между двумя лучами в нашем курсе не больше 180°. Угол COA опирается на вторую дугу CA: 360° − 210° = 150°.
Ошибка 2
Говорят: «дуга 40° большой окружности длиннее, значит, в ней больше градусов». Градусная мера показывает долю окружности: 40° — это 40360 = 19 окружности у любой окружности, а длины дуг при этом разные.
Ошибка 3
Вписанный угол на дугу 84° считают равным 84°. Равен дуге центральный угол, а вписанный — её половине: 42°.