Повторить перед темойПодобие треугольников Что дальшеПовторение: планиметрия 7–9

Подобие и отрезки в окружности: онлайн-тренажёр для 9 класса

Хорды, секущие и касательная. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Подобие и отрезки в окружности»8 уроков

Разминка3 задания

Основной4 задания

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Все 12 заданий темы — в полном тренажёре

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
8 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

ОсновнойТо, что спросят в школе · 4 задания

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Определим подобие для любых фигур — через преобразование, которое умножает все расстояния на одно и то же число k. Главный пример — растяжение от точки.

Выясним, что происходит при подобии с отрезками, серединами, углами и окружностями. Медианы, высоты, биссектрисы и радиусы умножаются на k, углы не меняются, площади умножаются на k².

Найдём подобие в листах бумаги, картах и моделях. Выясним, почему лист A5 подобен листу A4 и как по масштабу карты находить настоящую площадь.

Определение
Пусть каждой точке X фигуры F сопоставлена точка X′ фигуры F′, причём каждая точка F′ сопоставлена какой-то точке F. Говорят, что задано преобразование фигуры F в фигуру F′, а X′ называют образом точки X. Преобразование называют преобразованием подобия с коэффициентом k > 0, если для любых точек X и Y фигуры F верно X′Y′ = k · XY.
Определение
Фигура F′ подобна фигуре F, если F переходит в F′ некоторым преобразованием подобия. Число k называют коэффициентом подобия.

Разобранный пример

Условие. При растяжении от точки O с коэффициентом 2,5 точки A и B перешли в A′ и B′. OA = 3, AB = 4. Найдите OA′, AA′ и A′B′.

Ответ. OA′ = 7,5, AA′ = 4,5, A′B′ = 10.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Преобразование подобия».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Отрезок длины 10 перешёл в отрезок длины 4. Коэффициент — отношение образа к прообразу: k = 410 = 0,4, а не 2,5. Подобие с k = 2,5 переводит фигуру обратно.
Ошибка 2
При растяжении от O с k = 3 точку, удалённую от O на 2, ставят на расстоянии 2 + 3 = 5. Расстояние до O умножается: 2 · 3 = 6.
Ошибка 3
Коэффициент подобия — положительное число: он умножает длины, а длина не бывает отрицательной. При k = 0 все точки перешли бы в одну — это уже не подобие.