Четырёхугольники и окружности: онлайн-тренажёр для 8 класса
Вписанные, описанные и касание окружностей. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 13 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 7 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.
Коротко о теме
Около любого треугольника можно описать окружность, а около четырёхугольника — не всегда. Докажем главное свойство четырёхугольника, вершины которого лежат на окружности: сумма его противоположных углов равна 180°.
Свойство вписанного четырёхугольника обратимо: если сумма противоположных углов равна 180°, около четырёхугольника можно описать окружность. Докажем этот признак и узнаем, какие из знакомых четырёхугольников вписываются в окружность.
Если окружность касается всех сторон четырёхугольника, то суммы его противоположных сторон равны. Докажем это свойство через отрезки касательных и применим к трапеции и параллелограмму.
- Определение
Четырёхугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Окружность при этом называют описанной около четырёхугольника.
- Теорема
Свойство вписанного четырёхугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
Разобранный пример
Условие. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠A = 73°, ∠B = 106°. Найдите ∠C и ∠D.
Ответ. ∠C = 107°, ∠D = 74°.
2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Вписанный четырёхугольник».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1Во вписанном четырёхугольнике ∠A = 62° и ищут ∠B как 180° − 62° = 118°. Сумма 180° — у противоположных углов: ∠C = 118°, а угол B по одному углу A не найти.
-
Ошибка 2Считают, что ромб с углом 50° можно вписать в окружность, «ведь у него все стороны равны». Противоположные углы ромба равны: 50° + 50° ≠ 180°. Вписать можно только ромб с прямыми углами — квадрат.
-
Ошибка 3У четырёхугольника с углами 80°, 100°, 70°, 110° (по порядку) складывают ∠A + ∠B = 180° и делают вывод «можно вписать». Проверяют противоположные: ∠A + ∠C = 80° + 70° = 150° ≠ 180° — вписать нельзя.
Геометрия · 8 класс
Что внутри темы
- Урок 1Вписанный четырёхугольник
- Урок 2Когда можно вписать четырёхугольник
- Урок 3Описанный четырёхугольник
- Урок 4Когда можно описать четырёхугольник
- Урок 5Две окружности на плоскости
- Урок 6Касание и общие касательные
- Урок 7Проверь себя: окружности и четырёхугольники
В полном тренажёре — 7 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Применять свойство углов вписанного четырёхугольника
- Узнавать, можно ли вписать четырёхугольник в окружность
- Применять свойство сторон описанного четырёхугольника
- Определять взаимное расположение двух окружностей
- Строить общие касательные к двум окружностям
Ключевые понятия:вписанный четырёхугольникописанный четырёхугольниккасание окружностейобщая касательнаялиния центров
Что требует школьная программа
Применять свойства и признаки вписанных и описанных четырёхугольников, определять взаимное расположение двух окружностей.
Что повторить и что дальше
Углы в окружностиГеометрия, 8 класс
Геометрия, 8 класс
ВекторыГеометрия, 9 класс
Вопросы
Четырёхугольники и окружности · 8 классВ каком классе проходят тему «Четырёхугольники и окружности»?
В 8 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Углы в окружности (8 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 8 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
