Повторить перед темойЗакон больших чисел Что дальшеНормальное распределение

Непрерывные случайные величины: онлайн-тренажёр для 11 класса

Описываем непрерывные величины плотностью. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Непрерывные случайные величины»4 урока

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной6 заданий

здесьздесь

Сложный3 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
4 урока с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Отметьте все непрерывные случайные величины.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Плотность величины X равна f(x) = cx при 2 ≤ x ≤ 6 и 0 вне этого отрезка. Найдите c. Ответ запишите несократимой дробью.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Плотность величины X на отрезке [0; 2] линейно возрастает от 0 до c, на (2; 5] постоянна и равна c, вне отрезка [0; 5] равна 0. Найдите P(1 ≤ X ≤ 3). Ответ запишите несократимой дробью.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Масса, время, расстояние могут оказаться любым числом из промежутка. Выясним, почему у такой величины вероятность каждого отдельного значения равна нулю и как вместо неё говорят о вероятности попасть в промежуток.

Распределение непрерывной величины удобно задавать функцией — плотностью. Узнаем, как по её графику находить вероятности: вероятность попасть в промежуток равна площади под графиком.

Если участки одинаковой длины внутри отрезка равновероятны, плотность на нём постоянна. Найдём её и научимся считать вероятности отношением длин — как в геометрической вероятности 9 класса.

Определение
Случайную величину X называют непрерывной, если она может принять любое значение из некоторого промежутка (отрезка, луча или всей прямой), а вероятность каждого отдельного значения равна нулю: P(X = a) = 0 при любом числе a.
Свойство
Если величина X непрерывна, то при любых a < b P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b): включать концы промежутка или нет — на вероятность не влияет.

Разобранный пример

Условие. В онлайн-тесте на скорость реакции 250 человек нажимали кнопку, как только экран менял цвет. Время реакции X (мс) распределилось по интервалам так: 200–250 — 20 человек, 250–300 — 65, 300–350 — 90, 350–400 — 50, 400–450 — 25. Оцените для случайного участника P(X < 300), P(300 ≤ X < 400) и найдите P(X = 325).

Ответ. P(X < 300) ≈ 0,34; P(300 ≤ X < 400) ≈ 0,56; P(X = 325) = 0

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Когда значений бесконечно много».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
«P(X = 200) = 0, значит, пачек массой ровно 200 г не бывает» — неверно. Масса 200 г возможна, но рядом с ней бесконечно много других значений, и на каждое отдельное приходится нулевая вероятность. У непрерывной величины нулевую вероятность имеет каждое значение, а невозможным событие «X = a» от этого не становится.
Ошибка 2
Правило «концы промежутка не важны» — только для непрерывных величин. Число N звонков в справочную за минуту принимает значения 0, 1, 2, …, и если P(N = 3) = 0,2, то P(N ≤ 3) больше P(N < 3) на 0,2. Прежде чем отбросить концы, проверьте, что величина непрерывна.
Ошибка 3
В медицинской карте рост записан как 168 см. Вероятность события «записано 168» не равна нулю: это рост от 167,5 до 168,5 см, то есть промежуток. Нулю равна вероятность того, что рост ровно 168,000… см.